Квантовый гармонический осциллятор

Ква́нтовый гармони́ческий осцилля́тор — физическая модель в квантовой механике, представляющая собой параболическую потенциальную яму для частицы массой и являющаяся аналогом простого гармонического осциллятора. При анализе поведения данной системы рассматриваются не силы, действующие на частицу, а гамильтониан, то есть полная энергия осциллятора, причём потенциальная энергия предполагается квадратично зависящей от координат. Учёт следующих слагаемых в разложении потенциальной энергии по координате ведёт к понятию ангармонического осциллятора.

Одномерный гармонический осциллятор

править
 
Волновые функции в координатном представлении первых восьми состояний,  . По горизонтали отложена координата  , по вертикали — значение волновой функции  . Графики не нормированы.

Гамильтониан квантового осциллятора массой  , собственная частота которого  , выглядит так:

 

В координатном представлении оператор импульса имеет вид   , а оператор координаты  . Через   обозначена редуцированная постоянная Планка, через  мнимая единица.

Задача отыскания уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению чисел  , при которых дифференциальное уравнение в частных производных

 

имеет решение в классе квадратично интегрируемых функций. Здесь  волновая функция. Для

 

решение имеет вид:

 

функции   — полиномы Эрмита:

 .

Данный спектр значений   заслуживает внимания по двум причинам: во-первых, уровни энергии дискретны и равноотстоящи (эквидистантны), то есть разница в энергии между двумя соседними уровнями постоянна и равна  ; во-вторых, наименьшее значение энергии равно  . Этот уровень называют основным, вакуумом, или уровнем нулевых колебаний.

Гамильтониан гармонического осциллятора можно также записать вводя операторы рождения и уничтожения (  и  , соответственно)

 ,

сопряжённые друг другу. Их коммутатор равен

 .

С помощью операторов рождения и уничтожения гамильтониан обретает компактный вид

 ,

где   — оператор номера уровня (чисел заполнения). Собственные векторы записанного гамильтониана являются фоковскими состояниями, а представление решения задачи в таком виде называется «представлением числа частиц».

Неодномерный гармонический осциллятор

править

Если колебания независимо происходят вдоль всех трёх декартовых координат ( ,  ,  ), уравнение Шрёдингера становится трехмерным, но возможно разделение переменных — и для каждой из координатных осей получается одномерное уравнение. В результате волновые функции будут записываться в форме

 ,

где функции-сомножители справа имеют вид, обсуждавшийся выше. При этом энергии уровней составят

 ,

где  ,  ,   — неотрицательные целые числа. Уровни, кроме нулевого, оказываются вырожденными, так как одна и та же величина энергии может достигаться несколькими комбинациями чисел.

Ангармонический осциллятор

править

Под ангармоническим осциллятором понимают осциллятор с неквадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты. Простейшим приближением ангармонического осциллятора является приближение потенциальной энергии до третьего слагаемого в ряде Тейлора:

 ,

где  сonst. Точное решение задачи о спектре энергии такого осциллятора довольно трудоёмкое, однако можно вычислить поправки к энергии, если предположить, что кубическое слагаемое мало по сравнению с квадратичным, и воспользоваться теорией возмущений.

В представлении операторов рождения и уничтожения (представление вторичного квантования) кубическое слагаемое равно

 

Этот оператор имеет нулевые диагональные элементы, а потому первая поправка теории возмущений отсутствует. Вторая поправка к энергии произвольного невакуумного состояния   равна

 

Многочастичный квантовый осциллятор

править

В простейшем случае взаимодействия нескольких частиц можно применить модель многочастичного квантового осциллятора, подразумевая взаимодействие соседних частиц по квадратичному закону:

 

Здесь под   и   подразумеваются отклонение от положения равновесия и импульс  -той частицы. Суммирование ведётся только по соседним частицам.

Такая модель приводит к теоретическому обоснованию фононов — Бозе-квазичастиц, наблюдающихся в твёрдом теле.

Переходы под влиянием внешней силы

править

Под влиянием внешней силы   квантовый осциллятор может переходить с одного уровня энергии ( ) на другой ( ). Вероятность этого перехода   для осциллятора без затухания даётся формулой

 ,

где функция   определяется как

 ,

а   — полиномы Лагерра.

См. также

править

Литература

править

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 3-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1974. — 752 с. — («Теоретическая физика», том III).