Квантовый гармонический осциллятор
Ква́нтовый гармони́ческий осцилля́тор — физическая модель в квантовой механике, представляющая собой параболическую потенциальную яму для частицы массой и являющаяся аналогом простого гармонического осциллятора. При анализе поведения данной системы рассматриваются не силы, действующие на частицу, а гамильтониан, то есть полная энергия осциллятора, причём потенциальная энергия предполагается квадратично зависящей от координат. Учёт следующих слагаемых в разложении потенциальной энергии по координате ведёт к понятию ангармонического осциллятора.
Одномерный гармонический осциллятор
правитьГамильтониан квантового осциллятора массой , собственная частота которого , выглядит так:
В координатном представлении оператор импульса имеет вид , а оператор координаты . Через обозначена редуцированная постоянная Планка, через — мнимая единица.
Задача отыскания уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению чисел , при которых дифференциальное уравнение в частных производных
имеет решение в классе квадратично интегрируемых функций. Здесь — волновая функция. Для
решение имеет вид:
функции — полиномы Эрмита:
- .
Данный спектр значений заслуживает внимания по двум причинам: во-первых, уровни энергии дискретны и равноотстоящи (эквидистантны), то есть разница в энергии между двумя соседними уровнями постоянна и равна ; во-вторых, наименьшее значение энергии равно . Этот уровень называют основным, вакуумом, или уровнем нулевых колебаний.
Гамильтониан гармонического осциллятора можно также записать вводя операторы рождения и уничтожения ( и , соответственно)
- ,
сопряжённые друг другу. Их коммутатор равен
- .
С помощью операторов рождения и уничтожения гамильтониан обретает компактный вид
- ,
где — оператор номера уровня (чисел заполнения). Собственные векторы записанного гамильтониана являются фоковскими состояниями, а представление решения задачи в таком виде называется «представлением числа частиц».
Неодномерный гармонический осциллятор
правитьЕсли колебания независимо происходят вдоль всех трёх декартовых координат ( , , ), уравнение Шрёдингера становится трехмерным, но возможно разделение переменных — и для каждой из координатных осей получается одномерное уравнение. В результате волновые функции будут записываться в форме
- ,
где функции-сомножители справа имеют вид, обсуждавшийся выше. При этом энергии уровней составят
- ,
где , , — неотрицательные целые числа. Уровни, кроме нулевого, оказываются вырожденными, так как одна и та же величина энергии может достигаться несколькими комбинациями чисел.
Ангармонический осциллятор
правитьПод ангармоническим осциллятором понимают осциллятор с неквадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты. Простейшим приближением ангармонического осциллятора является приближение потенциальной энергии до третьего слагаемого в ряде Тейлора:
- ,
где сonst. Точное решение задачи о спектре энергии такого осциллятора довольно трудоёмкое, однако можно вычислить поправки к энергии, если предположить, что кубическое слагаемое мало по сравнению с квадратичным, и воспользоваться теорией возмущений.
В представлении операторов рождения и уничтожения (представление вторичного квантования) кубическое слагаемое равно
Этот оператор имеет нулевые диагональные элементы, а потому первая поправка теории возмущений отсутствует. Вторая поправка к энергии произвольного невакуумного состояния равна
Многочастичный квантовый осциллятор
правитьВ простейшем случае взаимодействия нескольких частиц можно применить модель многочастичного квантового осциллятора, подразумевая взаимодействие соседних частиц по квадратичному закону:
Здесь под и подразумеваются отклонение от положения равновесия и импульс -той частицы. Суммирование ведётся только по соседним частицам.
Такая модель приводит к теоретическому обоснованию фононов — Бозе-квазичастиц, наблюдающихся в твёрдом теле.
Переходы под влиянием внешней силы
правитьПод влиянием внешней силы квантовый осциллятор может переходить с одного уровня энергии ( ) на другой ( ). Вероятность этого перехода для осциллятора без затухания даётся формулой
- ,
где функция определяется как
- ,
а — полиномы Лагерра.
См. также
правитьЛитература
правитьЛандау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 3-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1974. — 752 с. — («Теоретическая физика», том III).