Ковариантность и контравариантность (математика)

Ковариа́нтность и контравариа́нтность — используемые в математике (линейной алгебре, дифференциальной геометрии, тензорном анализе) и в физике понятия, характеризующие то, как тензоры (скаляры, векторы, операторы, билинейные формы и т. д.) изменяются при преобразованиях базисов в соответствующих пространствах или многообразиях. Контравариантными называют «обычные» компоненты, которые при смене базиса пространства изменяются с помощью преобразования, обратного преобразованию базиса. Ковариантными — те, которые изменяются так же, как и базис.

Связь между ковариантными и контравариантными координатами тензора возможна только в пространствах, где задан метрический тензор (не следует путать с метрическим пространством).

Термины ковариантность и контравариантность были введены Сильвестром в 1853 году для исследований по алгебраической теории инвариантов.

Ковариантность и контравариантность в векторных пространствахПравить

Контравариантные и ковариантные векторыПравить

 
     вектор v, описанный в терминах
касательного базиса
     e1, e2, e3 в      координатных кривых (слева),
дуального базиса, ковекторного базиса или взаимного базиса
     e1, e2, e3 в      координатных поверхностях (справа),
в 3-d общих криволинейных координатах (q1, q2, q3), кортеж чисел для определения точки в координатном пространстве. Обратите внимание, что базис и кобазис совпадают только тогда, когда базис ортогональный.[1]

Пусть   — некоторое конечномерное векторное пространство, и в нём задан некоторый базис  . Произвольный вектор   можно представить как линейную комбинацию векторов базиса:  . В целях упрощения записи (и по причинам, которые станут ясны ниже) обозначим координаты с верхним индексом и примем правило Эйнштейна: если в выражении участвуют одинаковые разноуровневые индексы, то по ним предполагается суммирование. Таким образом, можно записать:  . Зададим новый базис с помощью матрицы преобразования  . По тем же соображениям введём нижние и верхние индексы (чтобы не писать знаки суммирования) —  . Тогда   (предполагается суммирование по индексу j). Обозначив обратную матрицу  , можно записать:  . Подставив эту формулу в координатное представление вектора x, получим:  . Таким образом, координаты вектора в новом базисе оказываются равными  , то есть преобразуются «противоположно» (обратно) изменению базиса. По этой причине такие векторы называют контравариантными — изменяющимися противоположно базису. Контравариантные векторы — это обычные векторы. Контравариантные векторы в координатном представлении обычно записывают как «вектор-столбец». Для идентификации контравариантных векторов используется верхний, или контравариантный, индекс.

Пространство всех линейных функционалов, отображающих векторы в числа, называют сопряжённым пространством  . Оно также является векторным пространством той же размерности, что и основное пространство. В этом пространстве также можно определить базис. Обозначим элементы базиса сопряжённого пространства с верхним индексом  . Любой функционал можно представить в этом базисе через координаты, которые будем обозначать нижними индексами. Тогда, применяя правило Эйнштейна, можем записать:  , то есть любой линейный функционал можно записать просто набором чисел  , как обычный вектор (за исключением нижнего расположения индекса).

Выберем базис в сопряженном пространстве так, что  , то есть эти функционалы находят  -ю координату вектора (проекцию на базисный вектор  ). Такой базис называют дуальным (базису основного пространства). При смене базиса основного пространства необходимо сохранить это условие, то есть  . Таким образом, дуальный базис изменяется обратно изменению основного базиса. Координаты произвольного линейного функционала   будут меняться противоположно собственному базису (как и в любом пространстве), то есть с помощью матрицы  . Следовательно, они будут меняться так, как основной базис. Это свойство называют ковариантностью. Сами линейные функционалы в координатном представлении в дуальном базисе называют ковариантными векторами, или кратко — ковекторами. Внешне ковектор «выглядит» как обычный вектор — в смысле обычного набора чисел, представляющих его координаты. Отличие ковектора от контрвариантного вектора заключается в правиле преобразования его координат при смене базиса: они преобразуются так, как базис, в отличие от контравариантных векторов, преобразующихся противоположно базису. Ковекторы в координатной форме записывают как «вектор-строку». Для идентификации ковекторов используется нижний, или ковариантный, индекс.

Контравариантность и ковариантность тензоровПравить

Сказанное про контравариантность и ковариантность векторов можно обобщить на объекты с несколькими индексами — тензоры, частными случаями которых и являются векторы и ковекторы.

По аналогии с линейным функционалом рассмотрим функционал, ставящий в соответствие нескольким ( ) векторам пространства   некоторое число, обладающий свойством линейности по каждому вектору. Это так называемые полилинейные функции. Можно показать, что все  -линейные функции образуют линейное пространство, в котором можно также ввести базис и представить произвольную  -линейную функцию в координатном виде. Можно также показать, что их координаты преобразуются как базис основного пространства (так же как и ковариантные векторы). Поэтому такие полилинейные функции называют   раз ковариантными тензорами. Их записывают с нижними индексами. Например, дважды ковариантный тензор обозначается так  .

Аналогично можно рассматривать полилинейные функции не в основном пространстве, а в сопряженном пространстве  , совокупность которых также образует линейное пространство  , которое является сопряженным к  . В координатном представлении в дуальном базисе они преобразуются так же, как базис пространства  , а значит — противоположно базису основного пространства  . То есть они обладают свойством контравариантности и называются   раз контравариантным тензором. Их обозначают с верхними индексами. В частности, дважды контравариантный тензор запишется как  .

Для рассматриваемых обычно пространств выполняется так называемый канонический изоморфизм   и  , то есть эти пространства можно считать неразличимыми. Поэтому 1-раз контравариантный тензор можно считать эквивалентным обычному контравариантному вектору.

Обобщая приведённые определения, можно рассматривать полилинейные функции от векторов и ковекторов одновременно. Соответственно, при смене базиса координатная запись такой функции будет преобразовываться с участием как матрицы преобразования основного базиса (в количестве ковекторов, участвующих в полилинейной функции), так и обратного ему (в количестве векторов полилинейной функции). Соответствующий тензор называют m раз контравариантным и k раз ковариантным —  . Для ковариантных компонент используют нижние индексы, для контравариантных — верхние. Например, 1-раз контравариантный и 1 раз ковариантный тензор обозначается  . Общее количество индексов   называется рангом, или валентностью, тензора. Компонентами тензора являются значения полилинейной функции на базисных векторах. Например,  .

Операция суммирования по одинаковым разноуровневым индексам тензоров называется свёрткой по этим индексам. Как уже было указано выше, по правилу Эйнштейна знак суммирования пропускают. В результате свёртки тензора по паре индексов его ранг уменьшается на 2. Например, отображение некоторого контравариантного вектора с помощью некоторого линейного оператора в тензорной записи будет иметь вид  . Линейные операторы являются классическим примером тензора типа  .

При преобразовании тензора типа   при смене базиса m раз используется прямая матрица преобразования базиса и k раз обратная. Например, тензор   типа   при смене базиса преобразуется следующим образом:

 

Вообще, необходимо понимать, что сам объект от представления его в базисе не зависит. Все преобразования — это представления одного и того же объекта (тензора).

Метрический тензорПравить

Если в линейном пространстве введено скалярное произведение   — билинейная форма (или в тензорной терминологии — дважды ковариантный тензор), обладающая свойствами симметричности и невырожденности, то такие пространства (конечномерные) называют евклидовыми (при условии положительной определённости соответствующей квадратичной формы  ) или псевдоевклидовым (без ограничения знака квадратичной формы). Соответствующий этой билинейной форме тензор называют метрическим тензором. Компоненты этого тензора в данном базисе  . Если этот базис ортонормированный (такой базис всегда существует в (псевдо)евклидовом пространстве), то матрица компонент является диагональной. На диагонали в случае евклидового пространства — единицы (единичная матрица). В случае псевдоевклидового пространства на диагонали кроме единиц имеются также и «минус-единицы». В общем случае, однако, базисы могут быть не ортогональными, поэтому метрический тензор может быть представлен и недиагональной матрицей (тем не менее в «плоском» пространстве всегда существует преобразование базиса, которое приводит его к диагональному виду).

С помощью метрического тензора скалярное произведение запишется как  . В пространствах со скалярным произведением имеет место канонический изоморфизм пространства   и сопряжённого пространства  , то есть каждому вектору ставится в соответствие ковектор и наоборот. Это соответствие осуществляется как раз с помощью скалярного произведения или в тензорной записи — с помощью метрического тензора. А именно, можно записать  . Эта операция называется опусканием или спуском индекса. Обратное соответствие осуществляется с помощью контравариантного метрического тензора  . Эта операция называется поднятием или подъёмом индекса. Несложно показать, что матрицы ковариантного и контравариантного метрических тензоров взаимно-обратны, то есть  . Скалярное произведение можно выразить как в контравариантных, так и в ковариантных векторах:  .

В случае ортонормированного базиса в евклидовом пространстве метрический тензор — единичная матрица, поэтому ковариантный вектор в координатной записи совпадает с контравариантным. Поэтому в этом случае деление векторов на контравариантные и ковариантные не является необходимым. Однако уже при неортогональности базиса и (или) псевдоевклидовости пространства такое разграничение имеет значение. В псевдоевклидовом пространстве в ортогональном базисе ковекторы различаются знаками некоторых координат от обычного вектора. Система векторов и ковекторов в таком случае позволяет записывать формулу для квадрата длины вектора аналогично случаю евклидового пространства  . В случае неортогональных (косоугольных) базисов в евклидовых (псевдоевклидовых) пространствах метрический тензор, преобразующий контравариантные векторы в ковариантные, не является диагональным. При этом длина вектора записывается также как в евклидовом пространстве с помощью контравариантных и ковариантных векторов. Все эти случаи объединяет одно — метрический тензор (в данном базисе) имеет одинаковую матрицу для всех точек (векторов) пространства.

В пространствах с метрическим тензором «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» являются фактически разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектора или ковектора. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть набор ковариантных координат) и контравариантный (то есть набор контравариантных координат). То же можно сказать о ковекторе. Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрическим тензором. Содержательно же векторы и ковекторы различают лишь по тому, какое из представлений для них естественно. Естественным для обычного вектора является контравариантное представление. Для ковариантного вектора естественным является свертка с обычными векторами без участия метрики. Примером ковариантного вектора является градиент скалярной функции  . Его свёртка с контравариантным (обычным) вектором   даёт инвариант — дифференциал функции  . Таким образом, если мы принимаем   в качестве обычных векторов пространства, то градиент должен быть ковектором, чтобы при свёртывании не нужно было использовать метрический тензор. При этом сами векторы   требуют при свёртывании с такими же векторами использования метрического тензора  .

Если речь идет об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности-контравариантрности вектора является то, как свёртывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения  , являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свёртываются с   посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковариантные векторы, а те, что с участием метрики — это контравариантные векторы. Если же пространство и координаты настолько абстрактны, что нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает, или становится также чисто условным.

Нередко ковариантным вектором, особенно в физической литературе, называют разложение любого вектора (то есть вектора или ковектора, вектора касательного или кокасательного пространства) по дуальному базису. Тогда речь идет о наборе ковариантных координат любого объекта, обычно, однако, каждый тип объектов стараются записывать в естественном для него базисе, что соответствует основному определению.

Обобщение на криволинейные базисы и искривлённые пространстваПравить

Координаты евклидового (псеводоевклидового) пространства могут быть и криволинейными. Классический пример криволинейных координат — полярные координаты на евклидовой плоскости. В таком случае координатные базисы   можно считать линейными лишь в бесконечно малых окрестностях данной точки. Поэтому справедливым остаётся выражение для квадрата расстояния для достаточно близких точек:  . В случае криволинейных координат метрический тензор меняется от точки к точке. Таким образом, он представляет собой тензорное поле — каждой точке пространства оказывается сопоставлен некоторый метрический тензор.

Более общая ситуация имеет место в случае искривлённых пространств — римановых (псевдоримановых) многообразий. Искривлённое пространство можно наглядно представить для случая двумерной поверхности — некоторая гладкая кривая поверхность в трёхмерном пространстве (например, сферическая поверхность). Внутренняя геометрия такой поверхности (искривлённой) — это геометрия искривлённого пространства. В общем случае искривлённого пространства размерности   его можно представить себе как произвольную (искривлённую) гиперповерхность в пространстве большей размерности. Для гладких многообразий со счетной базой доказана теорема Уитни о вложении, согласно которой любое такое многообразие размерности   является вложенным в «плоское» (то есть неискривлённое евклидово или псевдоевклидово) пространство размерности  .

В искривлённом пространстве могут и не существовать ортогональные и вообще линейные координатные базисы. В общем случае приходится иметь дело именно с криволинейными базисами. В этом случае применение всего вышеуказанного формализма ковариантных и контравариантных векторов приобретает не просто особую важность, а становится неизбежным.

Общие определенияПравить

В случае криволинейных координат или искривлённых пространств новые координаты являются, вообще говоря, нелинейными функциями старых координат:  . Для бесконечно малых изменений старых координат   можно определить изменения новых координат через якобиан указанных функций:

 

Любой вектор  , преобразующийся так же, как и  , то есть

 

называется контравариантным вектором.

Для некоторой скалярной функции координат   рассмотрим её градиент  . При переходе к другим координатам имеем:

 

Любой вектор  , преобразующийся так же, как градиент, то есть

 

называется ковариантным вектором.

Соответственно,   раз контравариантным и   раз ковариантным тензором (тензором типа  ) называется объект, преобразующийся при смене базиса применением   раз «обратного» преобразования   и   раз «прямого» преобразования  .

Например, дважды контравариантный тензор   и дважды ковариантный тензор   преобразуются по следующим законам:

 
 

А для 1 раз контравариантного и 1 раз ковариантного тензора преобразования имеют вид:

 

Обычно для указания, что компоненты тензора преобразованы к новому базису со штрихом, штрих указывают у соответствующих индексов тензора, а не у его буквенного обозначения, в таком случае вышеуказанные формулы записывают так

 

Алгебра и геометрияПравить

В теории категорий, функторы могут быть ковариантными и контравариантными. Сопряжённое пространство векторного пространства — стандартный пример контравариантного функтора. Некоторые конструкции мультилинейной алгебры являются смешанными, и не являются функторами.

В геометрии то же самое отображение различается в или из пространства, что позволяет определить вариантность конструкции. Касательный вектор к гладкому многообразию M в точке P — это класс эквивалентности кривых в M, проходящих через данную точку P. Поэтому он контравариантен относительно гладкого отображения M. Ковариантный вектор, или ковектор, таким же способом конструируется из гладкого отображения из M на вещественную ось около P в кокасательном расслоении, построенном на сопряжённом пространстве касательного расслоения.

Ковариантные и контравариантные компоненты преобразуются разными способами при преобразованиях базисов и, соответственно, координат, если брать, как это делают обычно, координатные базисы. .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne. Gravitation (неопр.). — W.H. Freeman & Co, 1973. — ISBN 0-7167-0344-0.

ЛитератураПравить