Ковариантный метод

Ковариа́нтный метод — подход в теоретической физике, разработанный Ф. И. Фёдоровым на основе линейной алгебры и прямого тензорного исчисления. Получил распространение в приложении к описанию оптических явлений и, частично, в физике элементарных частиц.

Суть методаПравить

Ковариантный метод — лаконичная математическая формулировка физических теорий, использующая тензорную алгебру. Основными областями применения метода являются теоретическая оптика и акустика. Ковариантный метод существенно упрощает громоздкие выражения, появляющиеся при описании распространения полей в сложных (анизотропных, гиротропных, бианизотропных) средах. С помощью данного метода вводится удобная в приложениях векторная параметризация группы Лоренца, которая может быть далее применена в теории элементарных частиц.

В общем случае электромагнитные и акустические поля описываются векторами. Если пространство, в котором распространяется волна, обладает симметрией, то вектор поля и тензоры, описывающие среду, могут быть заданы своими компонентами в некоторой системе координат, согласованной с симметрией системы, что обычно и применяется в оптике и акустике. Однако векторы и тензоры могут быть записаны безотносительно системы координат, просто как геометрические объекты, что и применяется в ковариантном методе. По этой причине ковариантный метод называют также бескоординатным (при решении задачи не задается конкретная система координат). Описание распространения волны в кристалле сводится к выполнению операций над тензорами и векторами, для чего разработаны методы, упрощающие работу с тензорами и явно использующие их инварианты (в трёхмерном пространстве для тензоров второй валентности это след, определитель тензора и определитель взаимного тензора). Симметрии кристалла в таком подходе выражаются как определённые соотношения между инвариантами, а описывающие кристалл тензоры имеют удобные выражения.

Виды тензоровПравить

Основными видами тензоров трехмерного пространства, используемыми в ковариантном методе, являются

единичный тензор  ,

проекционный оператор на направление единичного вектора  диада  ,

проекционный оператор   на плоскость, ортогональную единичному вектору  ,

— тензор  , дуальный вектору   :  .

Оптические кристаллы могут быть изотропными, одноосными или двуосными. Анизотропия кристаллов определяется тензором диэлектрической проницаемости, который может быть представлен в аксиальном виде:

1. изотропная среда  ,

2. одноосный кристалл   (вектор   задает направление оптической оси),

3. двуосный кристалл  .

Векторы, задающие направления оптических осей полностью определяются через собственные значения и главные оси соответствующих тензоров [1], [3], [4].

Векторная параметризация группы ЛоренцаПравить

Общая группа Лоренца может быть представлена как группа преобразований   вида

 ,

удовлетворяющих условиям  ,  . Матрица Лоренца   может быть параметризована одним трехмерным комплексным вектором   и имеет вид

 ,

где   и   — четырехмерные антисимметричные матрицы, которые ставятся в соответствие комплексному трёхмерному вектору  . Указанные выше матрицы определяются вектором   и комплексно сопряженным к нему вектором   соответственно и равны

 .

Для вектор-параметров группы Лоренца справедлив следующий закон композиции

 .

Векторная параметризация может быть введена и для группы вращений, причем в этом случае вектор-параметры будут принадлежать действительному трёхмерному пространству, а закон их композиции будет тем же.

Применение методаПравить

Ковариантный метод позволяет производить вычисления с векторами и тензорами в их прямой форме, не прибегая к индексной записи. При этом достигается компактность и простота получаемых выражений.

Например, критерии поляризации имеют следующий вид:

  - круговая поляризация

  - линейная поляризация

существует несколько вариантов критерия круговой и линейной поляризации [3]. Если ни один из приведенных критериев не выполняется, мы имеем дело с общим случаем эллиптической поляризации, при этом выясняются размеры и ориентация осей эллипса поляризации в гораздо более компактной форме, нежели это делается в декартовой системе координат [7].

ДополнительноПравить

  1. Сотрудники кафедры теоретической физики БГУ занимаются обобщением ковариантного метода. Такой обобщенный метод был назван операторным [6], так как основан на применении эволюционных операторов, связывающих поля в двух точках пространства. Операторный метод применим для описания слоистых систем (в том числе с цилиндрической и сферической симметрией).
  2. Ковариантный метод успешно использовался не только в работах белорусских физиков, но и в исследованиях сотрудников Института кристаллографии АН СССР[1][2].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Ю.И. Сиротин, М.П. Шаскольская. Основы кристаллофизики. - М.: Наука, 1975.
  2. А.Ф. Константинова, Б.Н. Гречушников, Б.В. Бокуть, Е.Г. Валяшко. Оптические свойства кристаллов. - Минск: Наука и техника, 1995.

ЛитератураПравить

  • [1] Ф.И. Фёдоров. Оптика анизотропных сред. - Минск: Из-во АН БССР, 1958; 2-е изд. М.: УРСС, 2004.
  • [2] Ф.И. Фёдоров. Теория упругих волн в кристаллах. - М.: Наука, 1965; New York: Plenum Press, 1968.
  • [3] Ф.И. Фёдоров. Теория гиротропии. - Минск: Наука и техника, 1976.
  • [4] Ф.И. Фёдоров, В.В. Филиппов. Отражение и преломление света прозрачными кристаллами. - Минск: Наука и техника, 1976.
  • [5] Ф.И. Фёдоров. Группа Лоренца. - М.: Наука, 1979; 2-е изд. М.: УРСС, 2003.
  • [6] Л.М. Барковский, А.Н. Фурс. Операторные методы описания оптических полей в сложных средах. - Минск: Белорусская наука, 2003.
  • [7] М. Борн, Э.Вольф Основы оптики
  • [8] I.S. Rez. Unexampled plagiarism in the theory of electromagnetic waves. - Cryst. Res. Technol., 1988, Vol. 23, № 4, K77—K79.