Ковариантный метод

Ковариа́нтный метод — подход в теоретической физике, разработанный Ф. И. Фёдоровым на основе линейной алгебры и прямого тензорного исчисления. Получил распространение в приложении к описанию оптических явлений и, частично, в физике элементарных частиц.

Суть метода

Ковариантный метод — лаконичная математическая формулировка физических теорий, использующая тензорную алгебру. Основными областями применения метода являются теоретическая оптика и акустика. Ковариантный метод существенно упрощает громоздкие выражения, появляющиеся при описании распространения полей в сложных (анизотропных, гиротропных, бианизотропных) средах. С помощью данного метода вводится удобная в приложениях векторная параметризация группы Лоренца, которая может быть далее применена в теории элементарных частиц.

В общем случае электромагнитные и акустические поля описываются векторами. Если пространство, в котором распространяется волна, обладает симметрией, то вектор поля и тензоры, описывающие среду, могут быть заданы своими компонентами в некоторой системе координат, согласованной с симметрией системы, что обычно и применяется в оптике и акустике. Однако векторы и тензоры могут быть записаны безотносительно системы координат, просто как геометрические объекты, что и применяется в ковариантном методе. По этой причине ковариантный метод называют также бескоординатным (при решении задачи не задается конкретная система координат). Описание распространения волны в кристалле сводится к выполнению операций над тензорами и векторами, для чего разработаны методы, упрощающие работу с тензорами и явно использующие их инварианты (в трёхмерном пространстве для тензоров второй валентности это след, определитель тензора и определитель взаимного тензора). Симметрии кристалла в таком подходе выражаются как определённые соотношения между инвариантами, а описывающие кристалл тензоры имеют удобные выражения.

Виды тензоров

Основными видами тензоров трехмерного пространства, используемыми в ковариантном методе, являются

— единичный тензор ${\textbf {1}}$,

— проекционный оператор на направление единичного вектора ${\textbf {n}}$ — диада ${\textbf {n}}\otimes {\textbf {n}}$,

— проекционный оператор $I={\textbf {1}}-{\textbf {n}}\otimes {\textbf {n}}=-{\mathbf {n} ^{\times }}^{2}$ на плоскость, ортогональную единичному вектору ${\textbf {n}}$,

— тензор ${\textbf {n}}^{\times }$, дуальный вектору $\mathbf {n}$ : $\mathbf {n} _{ij}^{\times }=\epsilon _{ilj}n_{l}$.

Оптические кристаллы могут быть изотропными, одноосными или двуосными. Анизотропия кристаллов определяется тензором диэлектрической проницаемости, который может быть представлен в аксиальном виде:

1. изотропная среда $\varepsilon =\varepsilon {\textbf {1}}$,

2. одноосный кристалл $\varepsilon =\varepsilon _{1}{\textbf {1}}+(\varepsilon _{2}-\varepsilon _{1}){\textbf {c}}\otimes {\textbf {c}}$ (вектор ${\textbf {c}}$ задает направление оптической оси),

3. двуосный кристалл $\varepsilon =a{\textbf {1}}+b({\textbf {c}}'\otimes {\textbf {c}}''+{\textbf {c}}''\otimes {\textbf {c}}')$.

Векторы, задающие направления оптических осей полностью определяются через собственные значения и главные оси соответствующих тензоров [1], [3], [4].

Векторная параметризация группы Лоренца

Общая группа Лоренца может быть представлена как группа преобразований ${\textbf {}}L$ вида

$L=\left({\begin{array}{cc}\alpha &i{\textbf {u}}\\i{\textbf {v}}&k\end{array}}\right)$,

удовлетворяющих условиям ${\textbf {}}(\det L)^{2}=1$, ${\textbf {}}LL^{T}=L^{T}L=1$. Матрица Лоренца ${\textbf {}}L$ может быть параметризована одним трехмерным комплексным вектором ${\textbf {q}}$ и имеет вид

$L={\frac {(1+{\textbf {q}}_{+})(1+{\textbf {q}}_{-}^{\ast })}{|1+{\textbf {q}}^{2}|}}$,

где ${\textbf {q}}_{+}$ и ${\textbf {q}}_{-}^{\ast }$ — четырехмерные антисимметричные матрицы, которые ставятся в соответствие комплексному трёхмерному вектору ${\textbf {q}}$. Указанные выше матрицы определяются вектором ${\textbf {q}}$ и комплексно сопряженным к нему вектором ${\textbf {q}}^{\ast }$ соответственно и равны

${\textbf {q}}_{+}=\left({\begin{array}{cc}{\textbf {q}}^{\times }&{\textbf {q}}\\-{\textbf {q}}&0\end{array}}\right),\qquad {\textbf {q}}_{-}^{\ast }=\left({\begin{array}{cc}{\textbf {q}}^{\ast \times }&-{\textbf {q}}^{\ast }\\{\textbf {q}}^{\ast }&0\end{array}}\right)$.

Для вектор-параметров группы Лоренца справедлив следующий закон композиции

${\textbf {q}}''={\frac {{\textbf {q}}+{\textbf {q}}'+{\textbf {q}}\times {\textbf {q}}'}{1-{\textbf {q}}{\textbf {q}}'}}$.

Векторная параметризация может быть введена и для группы вращений, причем в этом случае вектор-параметры будут принадлежать действительному трёхмерному пространству, а закон их композиции будет тем же.

Применение метода

Ковариантный метод позволяет производить вычисления с векторами и тензорами в их прямой форме, не прибегая к индексной записи. При этом достигается компактность и простота получаемых выражений.

Например, критерии поляризации имеют следующий вид:

$\mathbf {E} ^{2}=0$ - круговая поляризация

$[\mathbf {E} ,\mathbf {E} ^{*}]=0$ - линейная поляризация

существует несколько вариантов критерия круговой и линейной поляризации [3]. Если ни один из приведенных критериев не выполняется, мы имеем дело с общим случаем эллиптической поляризации, при этом выясняются размеры и ориентация осей эллипса поляризации в гораздо более компактной форме, нежели это делается в декартовой системе координат [7].

Дополнительно

1. Сотрудники кафедры теоретической физики БГУ занимаются обобщением ковариантного метода. Такой обобщенный метод был назван операторным [6], так как основан на применении эволюционных операторов, связывающих поля в двух точках пространства. Операторный метод применим для описания слоистых систем (в том числе с цилиндрической и сферической симметрией).
2. Ковариантный метод успешно использовался не только в работах белорусских физиков, но и в исследованиях сотрудников Института кристаллографии АН СССР.

См. также

• Дифференциальные формы в электромагнетизме

Литература

• [1] Ф.И. Фёдоров. Оптика анизотропных сред. - Минск: Из-во АН БССР, 1958; 2-е изд. М.: УРСС, 2004.
• [2] Ф.И. Фёдоров. Теория упругих волн в кристаллах. - М.: Наука, 1965; New York: Plenum Press, 1968.
• [3] Ф.И. Фёдоров. Теория гиротропии. - Минск: Наука и техника, 1976.
• [4] Ф.И. Фёдоров, В.В. Филиппов. Отражение и преломление света прозрачными кристаллами. - Минск: Наука и техника, 1976.
• [5] Ф.И. Фёдоров. Группа Лоренца. - М.: Наука, 1979; 2-е изд. М.: УРСС, 2003.
• [6] Л.М. Барковский, А.Н. Фурс. Операторные методы описания оптических полей в сложных средах. - Минск: Белорусская наука, 2003.
• [7] М. Борн, Э.Вольф Основы оптики
• [8] I.S. Rez. Unexampled plagiarism in the theory of electromagnetic waves. - Cryst. Res. Technol., 1988, Vol. 23, № 4, K77—K79.