Ковёр Серпинского

Ковёр Серпинского (квадрат Серпинского) — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1916 г.[1]

Ковёр (квадрат) Серпинского

ПостроениеПравить

Итеративный методПравить

 
6 итераций построения ковра Серпинского.

Квадрат   делится прямыми, параллельными его сторонам, на 9 равных квадратов. Из квадрата   удаляется внутренность центрального квадрата. Получается множество, состоящее из 8 оставшихся квадратов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из квадратов первого ранга, получим множество  , состоящее из 64 квадратов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

 

пересечение членов которой есть ковер Серпинского.

Метод хаосаПравить

1. Задаются координаты 8 точек-аттракторов. Ими являются вершины и середины сторон исходного квадрата  .
2. Вероятностное пространство   разбивается на 8 равных частей, каждая из которых соответствует одному аттрактору.
3. Задаётся некоторая начальная точка  , лежащая внутри квадрата  .
4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству ковра Серпинского.
1. Генерируется случайное число  .
2. Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число.
3. Строится точка   с новыми координатами:  ,
где:   — координаты предыдущей точки  ;   — координаты активной точки-аттрактора.
5. Возврат к началу цикла.

СвойстваПравить

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. W. Sierpinski. Sur une courbe cantorienne qui contient une image biunivoquet et continue detoute courbe donnée. //Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. - Paris. – Tome 162, Janvier - Juin 1916. - Pp. 629 – 632. - [1]

СсылкиПравить