Когомологии Александрова — Чеха

Когомологии Александрова — Чеха — теория когомологий, основанная на свойствах открытых покрытий топологического пространства. Такие когомологии оказываются удобными при изучении патологических пространств.

Идея построения заключается в том, что если покрытие пространства составлено из достаточно маленьких множеств, то когомологии нерва покрытия являются хорошей аппроксимацией когомологий самого пространства.

Названы в честь Александровa и Чеха. Обычно обозначаются .

ПостроениеПравить

Пусть   — топологическое пространство,   — открытое покрытие  . Обозначим через   нерв покрытия  .

Предположим, покрытие   вписано в покрытие  , то есть любое множество из   содержится в некотором множестве из  . Выберем отображение, сопоставляющее каждому множеству из   содержащее его множество из  . Это отображение индуцирует отображение нервов  . Индуцированный гомоморфизм колец когомологий   не зависит от выбора  . (Поскольку мы работаем с симплициальными комплексами, неважно, какую из теорий когомологий мы выбираем.)

Кольца когомологий   с гомоморфизмами   образуют обратную систему. Это даёт возможность перейти к обратному пределу

 

Полученное кольцо   называется когомологиями Чеха пространства   с коэффициентами в  .

Связь с другими теориями когомологийПравить

 
Польская окружность

См. такжеПравить

СсылкиПравить