Открыть главное меню

Когомологии де Рама — теория когомологий, основанная на дифференциальных формах, и применяемая в теориях гладких и алгебраических многообразий.

Названы в честь швейцарского математика де Рама. -мерная группа когомологий де Рама многообразия обычно обозначается .

Содержание

Гладкие многообразияПравить

ОпределенияПравить

Через коцепной комплексПравить

Комплексом де Рама называется коцепной комплекс внешних дифференциальных форм на гладком многообразии   с внешним дифференциалом   в качестве дифференциала.

 

Здесь   — пространство гладких функций на  ,   — пространство 1-форм, то есть   — пространство  -форм. Заметим, что  .  -мерная группа когомологий   этого коцепного комплекса является его мерой точности в  -ом члене и определяется как

 
  • Форма   называется замкнутой, если  , в этом случае  .
  • Форма   называется точной, если  , для некоторой  , то есть  .

Заметим, что всякая точная форма является замкнутой.

Как класс эквивалентности формПравить

Более геометрически, идея когомологий де Рама состоит в том, чтобы классифицировать замкнутые формы на многообразии: две замкнутые формы   и   в   называются когомологичными, если они отличаются на точную форму, то есть их разность   является точной формой. Это определение порождает отношение эквивалентности на множестве замкнутых форм в  .

Когомологическим классом   формы   называется множество всех замкнутых форм, отличающихся от   на точную форму — то есть множество форм вида  .

 -мерная группа когомологий де Рама   — это факторгруппа всех замкнутых форм в   по подгруппе точных форм.

Заметим, что для многообразия  , имеющего   связных компонент,

 

Действительно, формы степени 0 — это скалярные функции. Замкнутость означает, что функции имеют нулевую производную, то есть постоянны на каждой компоненте связности многообразия.

Теорема де РамаПравить

Теорема Стокса является выражением двойственности между когомологиями де Рама и гомологиями цепных комплексов. А именно, ключевое следствие из теоремы состоит в том, что «интегралы от замкнутой формы по гомологичным цепям равны»: если   — замкнутая  -форма, а   и   — гомологичные  -цепи (то есть   является границей  -мерной цепи  ), то

 

поскольку их разность есть интеграл

 

Таким образом, спаривание дифференциальных форм и цепей посредством интегрирования определяет гомоморфизм из когомологий де Рама   в группу сингулярных когомологий  . Теорема де Рама, доказанная Жоржем де Рамом в 1931 году, утверждает, что на гладких многообразиях это отображение является изоморфизмом:

 

Внешнее произведение наделяет прямую сумму групп   структурой кольца. Аналогичную структуру в сингулярных когомологиях   задаёт  -умножение. Теорема де Рама утверждает также, что эти два кольца когомологий изоморфны как градуированные кольца.

Алгебраические многообразияПравить

ОпределениеПравить

Совершенно аналогично гладкому случаю, с каждым алгебраическим многообразием   над полем   связывается комплекс регулярных дифференциальных форм.

Группами когомологий де Рама многообразия   называются группы когомологий  .

Частные случаи когомологий де РамаПравить

где   — комплексное аналитическое многообразие, соответствующее алгебраическому многообразию  .
  • Например, если   — дополнение к алгебраической гиперповерхности в  , то когомологии   могут быть вычислены при помощи рациональных дифференциальных форм на   с полюсами на этой гиперповерхности.

Относительные когомологии де РамаПравить

Для любого морфизма   можно определить так называемый относительный комплекс де Рама

 

приводящий к относительным когомологиям де Рама  .

В случае, если многообразие   является спектром кольца  , а  , то относительный комплекс де Рама совпадает с  .

Когомологии   комплекса пучков   на   называется пучками относительных когомологий де Рама. Eсли   — собственный морфизм, то эти пучки когерентны на  .

ЛитератураПравить

  • Ботт, Р., Ту, Л. В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. — М.: Платон, 1997. — 336 с. — ISBN 5-80100-280-4..
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984. — 343 с.
  • де Рам, Ж. Дифференцируемые многообразия = Varietes differentiables. — M.: КомКнига, 2006. — 250 с. — ISBN 5-484-00341-5..