Когомологии де Рама

Когомологии де Рама — теория когомологий, основанная на дифференциальных формах, и применяемая в теориях гладких и алгебраических многообразий.

Названы в честь швейцарского математика де Рама. $k$-мерная группа когомологий де Рама многообразия $M$ обычно обозначается $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$.

Гладкие многообразия

Определения

Через коцепной комплекс

Комплексом де Рама называется коцепной комплекс внешних дифференциальных форм на гладком многообразии $M$ с внешним дифференциалом $d\,^{k}$ в качестве дифференциала.

$0\to \Omega ^{0}(M){\stackrel {d^{0}}{\to }}\Omega ^{1}(M){\stackrel {d^{1}}{\to }}\Omega ^{2}(M){\stackrel {d^{2}}{\to }}\Omega ^{3}(M)\to \ldots$

Здесь $\Omega ^{0}(M)$ — пространство гладких функций на $M$, $\Omega ^{1}(M)$ — пространство 1-форм, то есть $\Omega ^{k}(M)$ — пространство $k$-форм. Заметим, что $d^{k+1}d^{k}=0$. $k$-мерная группа когомологий $H^{k}$ этого коцепного комплекса является его мерой точности в $k$-м члене и определяется как

$H^{k}(\Omega ^{\bullet },\;d^{\bullet })=\operatorname {Ker} d^{k}/\operatorname {Im} d^{k-1}.$

• Форма $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$ называется замкнутой, если $d^{k}\alpha =0$, в этом случае $\alpha \in \operatorname {Ker} d^{k}$.
• Форма $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$ называется точной, если $\alpha =d^{k-1}\gamma$, для некоторой $\gamma \in \Omega ^{k-1}$, то есть $\alpha \in \operatorname {Im} d^{k-1}$.

Заметим, что всякая точная форма является замкнутой.

Как класс эквивалентности форм

Более геометрически, идея когомологий де Рама состоит в том, чтобы классифицировать замкнутые формы на многообразии: две замкнутые формы $\alpha$ и $\beta$ в $\Omega ^{k}(M)$ называются когомологичными, если они отличаются на точную форму, то есть их разность $\alpha -\beta =d\gamma$ является точной формой. Это определение порождает отношение эквивалентности на множестве замкнутых форм в $\Omega ^{k}(M)$.

Когомологическим классом $[\alpha ]$ формы $\alpha$ называется множество всех замкнутых форм, отличающихся от $\alpha$ на точную форму — то есть множество форм вида $\alpha +d\gamma$.

$k$-мерная группа когомологий де Рама $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ — это факторгруппа всех замкнутых форм в $\Omega ^{k}(M)$ по подгруппе точных форм.

Заметим, что для многообразия $M$, имеющего $N$ связных компонент,

$H_{\mathrm {dR} }^{0}(M)\cong \mathbf {R} ^{N}.$

Действительно, формы степени 0 — это скалярные функции. Замкнутость означает, что функции имеют нулевую производную, то есть постоянны на каждой компоненте связности многообразия.

Теорема де Рама

Теорема Стокса является выражением двойственности между когомологиями де Рама и гомологиями цепных комплексов. А именно, ключевое следствие из теоремы состоит в том, что «интегралы от замкнутой формы по гомологичным цепям равны»: если $\omega$ — замкнутая $k$-форма, а $M$ и $N$ — гомологичные $k$-цепи (то есть $M-N$ является границей $(k+1)$-мерной цепи $W$), то

$\int \limits _{M}\omega =\int \limits _{N}\omega ,$

поскольку их разность есть интеграл

$\int \limits _{\partial W}\omega =\int \limits _{W}\,d\omega =\int \limits _{W}0=0.$

Таким образом, спаривание дифференциальных форм и цепей посредством интегрирования определяет гомоморфизм из когомологий де Рама $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ в группу сингулярных когомологий $H^{k}(M;\;\mathbf {R} )$. Теорема де Рама, доказанная Жоржем де Рамом в 1931 году, утверждает, что на гладких многообразиях это отображение является изоморфизмом:

$H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)\cong H^{k}(M;\;\mathbf {R} ).$

Внешнее произведение наделяет прямую сумму групп $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ структурой кольца. Аналогичную структуру в сингулярных когомологиях $H^{k}(M;\;\mathbf {R} )$ задаёт $\smile$-умножение. Теорема де Рама утверждает также, что эти два кольца когомологий изоморфны как градуированные кольца.

Алгебраические многообразия

Определение

Совершенно аналогично гладкому случаю, с каждым алгебраическим многообразием $X$ над полем $k$ связывается комплекс регулярных дифференциальных форм.

Группами когомологий де Рама многообразия $X$ называются группы когомологий $H_{\mathrm {dR} }^{p}(X/k)$.

Частные случаи когомологий де Рама

• Если $X$ является гладким и полным многообразием, а характеристика поля $\mathrm {char} \,k=0$, то когомологии де Рама являются когомологиями Вейля.
• Если многообразие $X$ есть гладкое аффинное многообразие, а поле $k=\mathbb {C}$, то справедлив следующий аналог теоремы де Рама:

  $H_{\mathrm {dR} }^{p}(X/k)\cong H^{p}(X_{an},\;\mathbb {C} ),$

где $X_{an}$ — комплексное аналитическое многообразие, соответствующее алгебраическому многообразию $X$.

• Например, если $X$ — дополнение к алгебраической гиперповерхности в $P^{n}(\mathbb {C} )$, то когомологии $H^{p}(X,\;\mathbb {C} )$ могут быть вычислены при помощи рациональных дифференциальных форм на $P^{n}(\mathbb {C} )$ с полюсами на этой гиперповерхности.

Относительные когомологии де Рама

Для любого морфизма $f\colon X\to S$ можно определить так называемый относительный комплекс де Рама

$\sum _{p\leqslant 0}\Gamma (\Omega _{X/S}^{p}),$

приводящий к относительным когомологиям де Рама $H_{\mathrm {dR} }^{p}(X/S)$.

В случае, если многообразие $X$ является спектром кольца $\mathrm {Spec} \,A$, а $S=\mathrm {Spec} \,B$, то относительный комплекс де Рама совпадает с $\Lambda \Omega _{A/B}^{1}$.

Когомологии ${\mathcal {H}}_{\mathrm {dR} }^{p}(X/S)$ комплекса пучков $\sum _{p\leqslant 0}f_{*}\Omega _{X/S}^{p}$ на $S$ называется пучками относительных когомологий де Рама. Eсли $f$ — собственный морфизм, то эти пучки когерентны на $S$.

Литература

• Ботт, Р., Ту, Л. В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. — М.: Платон, 1997. — 336 с. — ISBN 5-80100-280-4..
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984. — 343 с.
• де Рам, Ж. Дифференцируемые многообразия = Varietes differentiables. — M.: КомКнига, 2006. — 250 с. — ISBN 5-484-00341-5..