Открыть главное меню
Два коллинеарных противоположно направленных вектора

Коллинеа́рность — отношение параллельности векторов: два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой[1]. Допусти́м синоним — «параллельные» векторы.

Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Содержание

ОбозначенияПравить

  • Коллинеарные векторы:  
  • Сонаправленные векторы:  
  • Противоположно направленные векторы:  

Свойства коллинеарностиПравить

Пусть   — векторы пространства  . Тогда верны следующие утверждения:

  • Отношение коллинеарности
    1. рефлексивно:  
    2. симметрично:  
  • Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
  • Если   и  , то cуществует действительное число   такое, что   (причем  , если векторы сонаправлены, и  , если они противонаправлены). Это соотношение также может служить критерием коллинеарности.
  • Скалярное произведение коллинеарных векторов равно произведению их длин (взятых со знаком «-», если векторы противоположно направлены)
  • Векторы на плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда их псевдоскалярное произведение равно 0.
  • На плоскости 2 неколлинеарных вектора   образуют базис. Это значит, что любой вектор   можно представить в виде:  . Тогда   будут координатами   в данном базисе.

ОбобщенияПравить

Выше описанные критерии коллинеарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле, а как элементы произвольного линейного пространства.

Иногда коллинеарными называют точки, которые лежат на одной прямой[1].

ПримечанияПравить

  1. 1 2 А.Б.Иванов. Коллинеарные векторы // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2. — 552 с. — 150 000 экз.

См. такжеПравить

СсылкиПравить