Глоссарий планиметрии

(перенаправлено с «Коллинеарные точки»)
Эта страница — глоссарий. См. также основную статью: Планиметрия

Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице).


# А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

NПравить

АПравить

  • Антибиссектриса — чевиана внутри треугольника, изотомически сопряжённая биссектрисе относительно основания медианы, выходящей из той же вершины.
  • Антигональное сопряжение - тоже что и антиизогональное сопряжение.
  • Антипараллелограмм, или контрпараллелограмм, — плоский четырёхугольник, в котором каждые две противоположные стороны равны между собою, но не параллельны, в отличие от параллелограмма. Длинные противоположные стороны пересекаются между собою в точке, находящейся между их концами; пересекаются между собою и продолжения коротких сторон.
  • Антипараллель к стороне BC — отрезок B1C1, где точки B1 и C1 лежат на лучах AC и AB, при условии, что ∠AB1C1 = ∠ABC и ∠AC1B1 = ∠ACB.
  • Арбелос (по-греч. άρβυλος — сапожный нож) — плоская фигура, образованная большим полукругом, из которого вырезаны два малых полукруга, диаметры которых лежат на диаметре большого полукруга. При этом сумма диаметров двух малых полукругов равна диаметру большого полукруга.
  • Асимпто́та кривой γ, имеющей бесконечную ветвь, — прямая, такая, что расстояние от точки γ кривой до этой прямой стремится к нулю при движении её вдоль ветви к бесконечности.
  • Аффи́нное преобразование — преобразование плоскости, переводящее прямые в прямые.

БПравить

  • Барице́нтр системы точек Ai с массами mi — точка Z такая что  .
  • Барицентри́ческие координаты точки X относительно невырожденного треугольника ABC — тройка чисел  , такая что   и  , то есть если разместить в вершины треугольника массы, численно равные  , то барицентр полученной системы точек совпадёт с точкой  . Барицентрические координаты называют приведёнными, если  
  • Биссектри́са треугольника, проведённая из вершины — отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне.
  • Биссектри́са угла — луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.

ВПравить

ГПравить

  • Глаз дракона (символ) — старинный символ Древней Германии, обнаруженный Рудольфом Кохом. Глаз дракона похож по внешнему виду на изображение тетраэдра (треугольной пирамиды), если на него смотреть сверху со стороны одной вершины.
  • Гомотетия (подобие) с центром O и коэффициентом   — преобразование плоскости, переводящее точку P в точку P' , такую что  .

ДПравить

  • Движение — см. изометрия.
  • Дельтоид — напоминающий заглавную букву дельта) — четырёхугольник, четыре стороны которого можно сгруппировать в две пары равных смежных сторон.
  • Дельтоида — (или кривая Штейнера) — плоская алгебраическая кривая, описываемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности, радиус которой втрое больше радиуса первой.
  • Диаметр Брокара — диаметр окружности Брокара.
  • Директриса — прямая, лежащая в плоскости конического сечения (эллипса, гиперболы или параболы) и обладающая тем свойством, что отношение расстояния от любой точки кривой до фокуса кривой к расстоянию от той же точки до этой прямой есть величина постоянная, равная эксцентриситету.

ЕПравить

ЗПравить

ИПравить

  • Изоме́трия. Преобразование, сохраняющее расстояния.
  • Изогональное сопряжение. Пусть на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1, причём прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке P. Тогда прямые AA2, BB2 и CC2, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, также пересекаются в одной точке Q. В этом случае точки P и Q называются изогонально сопряжёнными относительно треугольника ABC.
  • Изогонический центр треугольника. Построим на сторонах треугольника ABC внешним (внутренним) образом правильные треугольники ABC1, AB1C и A1BC. Тогда прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Эту точку называют первым (вторым) изогоническим центром. Первый изогонический центр называют также точкой Ферма.
  • Изодинамический центр треугольника. Пусть AD и AE — биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника ABC и Sa — окружность с диаметром DE, окружности Sb и Sc определяются аналогично. Тогда эти три окружности имеют две общие точки M и N, которые называются изодинамическими центрами. Кроме того, прямая MN проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.
  • Изотомическое сопряжение. Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением.
  • Изоциркулярное преобразование. Если в сегменты, отсекаемые сторонами треугольника от описанного круга, вписать окружности, касающиеся сторон в основаниях чевиан, проведённых через некоторую точку, а затем соединить точки касания этих окружностей с описанной окружностью с противоположными вершинами, то такие прямые пересекутся в одной точке. Преобразование плоскости, сопоставляющее исходной точке получившуюся, называется изоциркулярным преобразованием. Композиция изогонального и изотомического сопряжений является композицией изоциркулярного преобразования с самим собой. Эта композиция — проективное преобразование, которое стороны треугольника оставляет на месте, а ось внешних биссектрис переводит в бесконечно удалённую прямую.
  • Инве́рсия — конформное преобразование, при котором окружности и прямые переходят в прямые и окружности (не обязательно соответственно).
  • Инцентр — точка пересечения трёх биссектрис треугольника.

КПравить

  • Квадрат — правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Квадрат является одновременно частным случаем ромба и прямоугольника.
  • Коллинеа́рные точки. Набор точек, находящихся на одной прямой.
  • Конгруэ́нтные фигуры. Две фигуры называются конгруэнтными, если существует изометрия плоскости, которая переводит одну в другую.
  • Конкуре́нтные прямые. Набор прямых, проходящих через одну точку, или попарно параллельных.
  • Кривая постоянной ширины a есть замкнутая выпуклая кривая, длина проекции которой на любую прямую равна a.
  • Круг есть ограниченная часть плоскости, ограниченная окружностью.
  • Круговая плоскость. Евклидова плоскость, дополненная одной идеальной точкой ( ).

ЛПравить

  • Лемма Архимеда. Если окружность вписана в сегмент окружности, стягиваемый хордой  , и касается дуги в точке  , а хорды — в точке  , то прямая   является биссектрисой угла  .
 
Полувписанная окружность и центр гомотетии G.
  • Лемма Веррьера[1]. Точки касания окружностей Веррьера (полувписанных окружностей) со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности (инцентр) (См. серый рис. слева).
  • Лемма о трезубце или теорема трилистника, или лемма Мансиона (жарг. лемма о куриной лапке) — теорема в геометрии треугольника. В наиболее общем случае теорема гласит, что, если биссектриса к стороне   пересекает описанную окружность в точке  , то выполняется равенство:  , где   — инцентр,   — центр вневписанной окружности, касающейся стороны  .
  • Ломаная (ломаная линия) — геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединённых своими концами.
  • Луч — «полупрямая», имеет начальную точку, но не имеет конечной точки.

МПравить

НПравить

  • Накло́нная к прямой   ― прямая, пересекающая прямую   под углом, отличным от прямого.

ОПравить

 
Овалы Кассини
  • Окру́жность с центром в точке О — геометрическое место точек, равноудалённых от точки О.
    • Окру́жность Аполло́ния для данных точек A и B и коэффициента   — геометрическое место точек, таких, что  .
    • Окружность Брокара — описанная окружность треугольника Брокара. Её диаметром является отрезок, соединяющий центр описанной окружности данного треугольника и его точку Лемуана. Две точки Брокара также лежат на этой окружности, как и три вершины треугольника Брокара
    • Окружность Веррьера (полувписанные). В треугольнике есть три окружности, которые касаются двух сторон треугольника и описанной окружности. Такие окружности называют полувписанными или окружностями Веррьера.
    • Окружности Вилларсо — пара окружностей, получаемых при сечении тора вращения «диагональной» касательной плоскостью, проходящей через центр тора (эта плоскость автоматически получается бикасательной).
    • Окружность девяти точек — то же, что и Окружность Эйлера
    • Окружности Джонсона — набор из трёх окружностей одинакового радиуса r, имеющих одну общую точку пересечения H внутри треугольника, одновременно проходящие через разные пары его вершин. То есть окружности Джонсона являются тремя окружностями, описанными около трёх разных треугольников Гамильтона внутри данного треугольника.
    • Окружность кривизны или соприкаса́ющаяся окру́жностьокружность, являющаяся наилучшим приближением заданной кривой в окрестности данной точки.
    • Окружность Лестера — окружность, на которой в любом разностороннем треугольнике лежат две точки Ферма, центр девяти точек и центр описанной окружности.
    • Окружность Ламуна. Центры описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами, лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна.
    • Окружности Лемуана. Через точку Лемуана данного треугольника проведём прямые, параллельные сторонам этого треугольника. Окружность, проходящая через точки их пересечения со сторонами треугольника (в общем случае таких точек 6), называется первой окружностью Лемуана. Если же через точку Лемуана провести прямые, антипараллельные сторонам треугольника, то окружность, проходящая через точки их пересечения со сторонами треугольника называется второй окружностью Лемуана.
    • Окружность Нойберга. Пусть вершины B и C треугольника фиксированы, а вершина A движется так, что угол Брокара   треугольника ABC остаётся постоянным. Тогда точка A движется по окружности радиуса  , которая и называется окружностью Нойберга.
    • Окружность Парри — окружность, проходящая через центроид и две точки Аполлония треугольника, а также через точку Парри.
    • Окружности Схоуте. Опустим из точки M перпендикуляры MA1, MB1 и MC1 на прямые BC, CA и AB. Для фиксированного треугольника ABC множество точек M, для которых угол Брокара треугольника A1B1C1 имеет заданное значение, состоит из двух окружностей, причём одна из них расположена внутри описанной окружности треугольника ABC, а другая вне её. Данные окружности называются окружностями Схоуте треугольника  .
    • Окружность Тейлора треугольника ABC — окружность, которая проходит через шесть точек в виде шести проекций трёх оснований высот треугольника, пересекающих каждую сторону, на две оставшиеся стороны.
    • Окружность Тукера (частная окружность Тукера) треугольника ABC — окружность, которая проходит через точки пересечения сторон треугольника ABC с продолжениями сторон треугольника A1B1C1, полученного из треугольника ABC при гомотетии с центром в точке Лемуана. Эти точки (в общем случае их шесть) всегда лежат на одной окружности. Центр окружности Тукера лежит между точкой Лемуана и центром описанной окружности.
    • Окружность Тукера (обобшенная окружность Тукера) треугольника ABC. Если на рис. к теореме Томсена справа ниже проводить аналогичную 6-звенную ломаную, последовательно чередуя отрезки параллельные, антипараллельные, параллельные, снова антипараллельные, снова параллельные противоположной текущей стороне и т. д., тогда последний 6-ой отрезок вернется в исходную точку, как и в теореме Томсена, и ломаная замкнется. Теорема Тукера утверждает, что в этом случае 6 точек ломаной, лежащих на сторонах треугольника, будут лежать на окружности Тукера
    • Окружность Форда (англ. Ford circle) — окружность с центром в точке с координатами   и радиусом  , где   — несократимая дробь.
    • Окружность Фурмана — окружность для данного треугольника с диаметром, равным отрезку прямой, который расположен между ортоцентром и точкой Нагеля.
    • Окружность Эйлера или окружность девяти точек

ОПравить

  • Описанная окружность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Многоугольник, вокруг которого описана окружность, называется вписанным в эту окружность.
  • Ортополюс (Orthopole) H системы, состоящей из треугольника ABC и линии в данной плоскости, является точкой, определяемой следующим образом (см. рис.).
  • Ортотреугольник — треугольник, вершинами которого являются основания высот исходного (опорного) треугольника.
  • Ортоцентр — точка пересечения трёх высот треугольника.
  • Ортоцентрическая система точек. Если в четвёрке точек  ,  ,  ,   точка   является точкой пересечения высот треугольника  , то и любая из четырёх точек является ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными точками. Такую четвёрку иногда называют ортоцентрической системой точек. Другие свойства ортоцентрической системы точек см. в статье ортоцентр.
  • Отре́зок — часть прямой между двумя точками, включая концы.

ППравить

РПравить

 
Радикальный центр (оранжевая точка) является центром единственной окружности (также оранжевой), пересекающей три заданные окружности под прямыми углами.
 
Радикальная ось двух пересекающихся окружностей
  • Радикальная ось двух окружностей — геометрическое место точек, степени которых относительно двух заданных окружностей равны. Иными словами, равны длины четырёх касательных, проведенных к двум данным окружностям из любой точки M данного геометрического места точек.
  • Радикальный центр трёх окружностей — точка пересечения трёх радикальных осей пар окружностей. Если радикальный центр лежит вне всех трёх окружностей, то он является центром единственной окружности (радикальной окружности), которая пересекает три данных окружности ортогонально.
  • Ромбпараллелограмм, у которого все стороны равны. Частным случаем ромба является квадрат.
  • Ромбоид — это параллелограмм, в котором смежные стороны имеют разные длины, и углы не являются прямыми.

СПравить

ТПравить

 
Полувписанные окружности или окружности Веррьера
  • Точка
    • Точка Веррьера. В треугольнике есть три окружности, которые касаются двух сторон треугольника и описанной окружности. Такие окружности называют полувписанными или окружностями Веррьера. Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке, называемой точкой Веррьера. Она служит центром гомотетии, которая переводит описанную окружность во вписанную.
    • Точка Жерго́нна — точка пересечения чевиан, проходящих через точки касания вписанной окружности со сторонами этого треугольника. Точка Жергонна изотомически сопряжена точке Нагеля.
    • Точка Лемуана — точка пересечения симедиан треугольника. Эта точка изогонально сопряженна центроиду.
    • Точка Микеля.  Пусть четыре прямые расположены так (в общем положении), что при их пересечении образуется четыре треугольника (см. рис.). Тогда описанные вокруг этих треугольников окружности имеют общую точку, которая называется точкой Микеля этой конфигурации прямых
       
      Точка Микеля
    • Точка На́геля — точка пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с вневписанными окружностями. Точка Нагеля изотомически сопряжена точке Жергонна.
    • Точка Понселе — точка, образованная на пересечении четырёх окружностей девяти точек треугольников  ,  ,   и  , если эта четверка точек не образует ортоцентрическую систему.
    • Точка Торричелли — точка, из которой все стороны видны под углом 120°. Эту точку также называют изогонической (равноугольной) точкой.
    • Точка Аполлония — точка, образованная пересечением трёх перпендикуляров проведённых от сторон треугольника так, что педальный треугольник, вершины которого — основания перпендикуляров, является равносторонним. Эту точку также называют изодинамической точкой.
    • Точки Брокара — такие внутренние точки P и Q  , что   и  .
    • Точки изотомически сопряжённые Пусть прямые   и   пересекают прямые   и   в точках   и   соответственно, а точки   и   выбраны на прямых   и   так, что  ,   и  . Тогда прямые   и   либо параллельны, либо также пересекаются в одной точке  . В последнем случае точки   и   называют изотомически сопряжёнными относительно треугольника  .
    • Точки постоянные подобных фигур Пусть  ,   и   — соответственные прямые подобных фигур  ,   и  , пересекающиеся в точке  . Пусть  ,   и   — точки пересечения прямых  ,   и   с окружностью подобия, отличные от точки  . Оказывается, что эти точки зависят только от фигур  ,   и   и не зависят от выбора прямых  ,   и  . Точки  ,   и   и называют постоянными точками подобных фигур  ,   и  , а треугольник   называют постоянным треугольником подобных фигур  ,   и  .
    • Точки соответственные. Точки   и   называют соответственными точками подобных фигур   и  , если при поворотной гомотетии, переводящей   в  , точка   переходит в  . Аналогично определяются соответственные прямые и отрезки.
    • Точки Фейербаха — точки попарного касания вписанной и трёх вневписанных окружностей с окружностью девяти точек.
  • Трактриса (линия влечения) — (от лат. trahere — тащить) — плоская трансцендентная кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с фиксированной прямой является постоянной величиной.
  • Трапеция — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны. Часто в определение трапеции добавляют условие, что две другие стороны должны быть не параллельны.
  • Треугольник
    • Треугольник Брокара — треугольник с вершинами в постоянных точках треугольника. Треугольник Брокара вписан в окружность Брокара.
    • Треугольники Гамильтона — треугольники, фигурирующие в теореме Гамильтона. Три треугольника Гамильтона это — те три треугольника, на которые разбивают данный остроугольный треугольник три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с тремя его вершинами.
    • Треугольник Кеплера — это прямоугольный треугольник, длины сторон которого составляют геометрическую прогрессию. При этом соотношение длин сторон треугольника Кеплера связано с золотым сечением  .
    • Треугольник Наполеона для треугольника — равносторонний треугольник, образованный центрами равносторонних треугольников, построенных на всех сторонах данного треугольника.
    • Треугольник Шарыгинатреугольник, не являющийся равнобедренным, основания биссектрис которого образуют равнобедренный треугольник.
    • Треугольник отражений. Вершины треугольника отражений   получаются зеркальным отражением каждой вершины опорного треугольника   относительно противоположной стороны.
    • Треугольник подобия. Пусть  ,   и   — три подобные фигуры,   — центр поворотной гомотетии, переводящей   в  , точки   и   определяются аналогично. Если точки  ,   и   не лежат на одной прямой, то треугольник   называют треугольником подобия фигур  ,   и  , а его описанную окружность называют окружностью подобия этих фигур. В случае, когда точки  ,   и   совпадают, окружность подобия вырождается в центр подобия, а в случае, когда эти точки не совпадают, но лежат на одной прямой, окружность подобия вырождается в ось подобия
    • Треугольник постоянный См. точки постоянные подобных фигур.
    • Треугольник точек касания вневписанных окружностей
    • Треугольник трёх внешних биссектрис (треугольник центров вневписанных окружностей)  треугольник, образованный точками пересечения внешних биссектрис друг с другом в центрах вневписанных окружностей исходного треугольника (см. рис.)
       
      Треугольник трёх внешних биссектрис 
    • Треугольники ортологические — треугольники ABC и A1B1C1, для которых перпендикуляры, опущенные из точек A, B и C на прямые B1C1, C1A1 и A1B1 пересекаются в одной точке. В этом случае и перпендикуляры, опущенные из точек A1, B1 и C1 на прямые BC, CA и AB также пересекаются в одной точке.
  • Трисектри́са угла есть луч, делящий этот угол в отношении 2:1.
  • Трилинейные поляры треугольника. Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной полярой исходной точки.
  • Трисектри́са — плоская кривая.
  • Тупой угол — угол, величина которого находится между 90 и 180 градусами.

УПравить

  • Угол Брокара. Пусть P — точка Брокара треугольника ABC. Угол   = ∠ABP = ∠BCP = ∠CAP называется углом Брокара этого треугольника.
  • Угол между окружностями — угол между касательными к окружностям в точке пересечения этих окружностей. Оба угла между двумя пересекающимися окружностями равны.
  • Угол между окружностью и прямой — угол между прямой и касательной к окружности в точке пересечения прямой и окружности. Оба угла между пересекающимися окружностью и прямой равны.
  • Угол, опирающийся на диаметр окружности, вписанный в эту окружность, является прямым углом (в 90 градусов).

ФПравить

  • Фигура — произвольное подмножество плоскости.

ХПравить

  • Хо́рда кривой — отрезок, концы которого лежат на данной кривой.

ЦПравить

  • Центр масс см. Барицентр.
  • Центральная симме́три́я Центра́льной симме́три́ей относительно точки A называют преобразование пространства, переводящее точку X в такую точку X′, что A — середина отрезка XX′. Центральная симметрия с центром в точке A обычно обозначается через ZA, в то время как обозначение SA можно перепутать с осевой симметрией. Это преобразование эквивалентно повороту на 180° относительно точки А.
  • Центро́ид треугольника. Точка пересечения медиан треугольника.
  • Цепь Паппа Александрийского — кольцо внутри двух касающихся кругов, заполненных попарно касающимися кругами меньших диаметров.
  • Цепь Понселе: Пусть   и   — два конических сечения. Ломаная   называется цепью Понселе для пары  ,  , если каждая вершина  лежит на  , и при этом (продолжения) рёбер   и   являются соответственно правой и левой касательной к  .

ЧПравить

  • Чевиана — отрезок (или продолжение отрезка), соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной ей стороне или на её продолжении. Обычно под чевианой понимают не один такой отрезок, а один из трёх таких отрезков, проведённых из трёх разных вершин треугольника и пересекающихся в одной точке. Они удовлетворяют условиям теоремы Чевы.
  • Чевианный треугольник — треугольник, тремя вершинами которого являются три основания чевиан исходного треугольника.
  • Четырёхсторонник — в планиметрии то же, что и четырёхугольник.
  • Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники, невыпуклый четырёхугольник может быть самопересекающимся.

ЭллипсПравить

  причём  
  • Эллипс Брокара — эллипс с фокусами в точках Брокара. Его перспектором служит точка Лемуана.
  • Эллипс Мандарта треугольника — вписанный в треугольник эллипс, касающийся его сторон в точках касания их с вневписанными окружностями
  • Эллипс Штейнера

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902. — С. 130. — 334 с.

СсылкиПравить