Комбинаторная геометрия

Комбинаторная или дискретная геометрия — раздел геометрии, в котором изучаются комбинаторные свойства геометрических объектов и связанные с ними конструкции. В комбинаторной геометрии рассматривают конечные и бесконечные дискретные множества или структуры базовых однотипных геометрических объектов (точек, прямых, окружностей, многоугольников, тел с одинаковым диаметром, целочисленных решёток и т. п.) и ставят вопросы, связанные со свойствами различных геометрических конструкций из этих объектов или на этих структурах. Проблемы комбинаторной геометрии простираются от конкретных «предметно»-комбинаторных вопросов (хотя и не всегда с простыми ответами) — замощения, упаковка кругов на плоскости, формула Пика — до вопросов общих и глубоких — гипотеза Борсука, проблема Нелсона — Эрдёша — Хадвигера.

ИсторияПравить

Хотя многогранники, замощения и упаковка шаров исследовались ещё Кеплером и Коши, современная комбинаторная геометрия начала формироваться в конце 19-го века. Одними из первых задач были: плотность упаковки кругов Акселя Туэ, проективная конфигурация[en] Штайница, геометрия чисел Минковского и проблема четырёх красок Фрэнсиса Гутри (англ.).

Примеры задачПравить

Представление о диапазоне задач комбинаторной геометрии дают следующие примеры.

 
Ромботришестиугольная упаковка шаров, одна из 11 возможных симметричных упаковок
 
Восемь точек в общем положении, для которых нет выпуклого пятиугольника
  • Теорема Минковского о выпуклом теле. Пусть   — замкнутое выпуклое тело, симметричное относительно начала координат    -мерного евклидова пространства, имеющее объём  . Тогда в   найдётся целочисленная точка, отличная от  . Эта теорема положила начало геометрии чисел.
  • Гипотеза Борсука утверждает, что любое тело диаметра   в  -мерном евклидовом пространстве можно разбить на   часть так, что диаметр каждой части будет меньше  . Эта гипотеза была доказана для размерностей   и  , но опровергнута для пространств большой размерности. По известной сегодня оценке она не верна для пространств размерности 64 и более[2].
  • Задача Данцера — Грюнбаума заключается в поиске конечного множества из как можно большего количество точек в многомерном пространстве, между которыми можно построить только острые углы.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Chang, Hai-Chau & Wang, Lih-Chung (2010), "A Simple Proof of Thue's Theorem on Circle Packing", arΧiv:1009.4322v1 [math.MG] 
  2. Thomas Jenrich, A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk's conjecture

СсылкиПравить