Компактификация Стоуна — Чеха

Компактификация Стоуна — Чеха (также стоун-чеховская или чех-стоунова компактификация) — максимальная компактификация вполне регулярного топологического пространства.

Компактификация Стоуна — Чеха пространства обычно обозначается как .

ИсторияПравить

Конструкция компактификации Стоуна — Чеха была впервые рассмотрена Тихоновым[1] в 1930 году. Более явно она была описана в 1937 году Стоуном [2] и Эдуардом Чехом[3].

Универсальное свойствоПравить

  — это компактное хаусдорфово пространство вместе с непрерывным отображением из   удовлетворяющее следующему универсальному свойству: любое непрерывное отображение   в компактное хаусдорфово пространство   можно однозначно продолжить до непрерывного отображения   такого что следующая диаграмма коммутативна:

 

В случае, если исходное пространство   было вполне регулярным, отображение   является гомеоморфизмом   на образ этого отображения (то есть вложением).

ЗамечаниеПравить

  • Несмотря на то, что универсальное свойство однозначно определяет компактификацию с точностью до изоморфизма, для доказательства существования компактификации нужно описать явную конструкцию.

КонструкцияПравить

Обозначим через   множество всех непрерывных функций  . Можно проверить, что отображение   (тихоновский куб), определяемое равенством

 ,

является гомеоморфизмом   на свой образ  . Замыкание   в   и будет искомой компактификацией.

СвойстваПравить

  • Если   является дискретным пространством, его компактификация — это множество ультрафильтров на решётке подмножеств   наделённое топологией Стоуна. В качестве базы открытых множеств топологии Стоуна на множестве ультрафильтров   можно взять множества   для всевозможных  

ПримечанияПравить

  1. Tychonoff, A. (1930), Über die topologische Erweiterung von Räumen, — Mathematische Annalen (Springer Berlin / Heidelberg) 102: 544—561
  2. Stone, M.H. (1937), Applications of the theory of Boolean rings to general topology, — Trans. Amer. Soc. (Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 41, No. 3) 41 (3): 375—481
  3. Čech, E. (1937), On bicompact spaces, — Ann. Math. (The Annals of Mathematics, Vol. 38, No. 4) 38 (4): 823—844

ЛитератураПравить