Компактное пространство
Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства.
В общей топологии компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.
ИсторияПравить
Бикомпактное пространство — понятие, введённое Павлом Сергеевичем Александровым как усиление определённого Морисом Фреше понятия компактного пространства. В первоначальном определении, топологическое пространство называлось компактным если в каждом счётном открытом покрытии этого пространства содержится его конечное подпокрытие[1]. Однако дальнейшее развитие математики показало, что понятие бикомпактности важнее первоначального понятия компактности, и в настоящее общепринято понимать под компактностью именно бикомпактность, а компактные в старом смысле пространства называют счётно-компактными. (Термин бикомпактность дольше всего продержался в русском языке.) Оба понятия равносильны в применении к метрическим пространствам.
Французское слово фр. compact является ложным другом переводчика: оно означает не «компактный», а «компактный и хаусдорфов». Компактные пространства, априори не являющиеся хаусдорфовыми, по-французски называются фр. quasi-compact. Такое словоупотребление было введено в трактатах Бурбаки. В других языках оно не является общепринятым, за исключением трудов по абстрактной алгебраической геометрии. Базовый объект абстрактной алгебраической геометрии, спектр кольца, всегда компактное пространство, но почти никогда не хаусдорфово; из-за влиятельности трудов Гротендика, опиравшегося на Бурбаки, в текстах по абстрактной алгебраической геометрии слово квази-компактный, вообще-то несообразное с традицией, иногда допускается[2][нет в источнике].
ОпределениеПравить
Компактное пространство — топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.
Примеры компактных множествПравить
- Замкнутые ограниченные множества в .
- Конечные подмножества топологических пространств.
- Теорема Асколи — Арцела даёт характеризацию компактных множеств в пространстве вещественных функций на метрическом компактном пространстве с нормой : замыкание множества функций в компактно тогда и только тогда, когда равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
- Пространство Стоуна булевых алгебр.
- Компактификация топологического пространства.
Связанные определенияПравить
- Подмножество топологического пространства T, являющееся в индуцированной T топологии компактным пространством, называется компактным множеством.
- Множество называется предкомпактным (или компактным относительно T), если его замыкание в T компактно[3].
- Пространство называется секвенциально компактным, если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
- Локально компактное пространство — топологическое пространство, в котором любая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.
- Ограниченно компактное пространство — метрическое пространство, в котором все замкнутые шары компактны.
- Псевдокомпактное пространство — тихоновское пространство, в котором каждая непрерывная вещественная функция ограничена.
- Счётно компактное пространство — топологическое пространство, в любом счётном покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.
- Слабо счётно компактное пространство — топологическое пространство, в котором любое бесконечное множество имеет предельную точку.
- H-замкнутое пространство — хаусдорфово пространство, замкнутое в любом объемлющем его пространстве[4][5].
Термин «компакт» иногда используется для метризуемого компактного пространства, но иногда просто как синоним к термину «компактное пространство». Также «компакт» иногда используется для хаусдорфова компактного пространства[6]. Далее, мы будем использовать термин «компакт» как синоним к термину «компактное пространство».
СвойстваПравить
- Свойства, равносильные компактности:
- Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое центрированное семейство замкнутых множеств, то есть семейство, в котором пересечения конечных подсемейств не пусты, имеет непустое пересечение[7].
- Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая направленность в нём имеет предельную точку.
- Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый фильтр в нём имеет предельную точку.
- Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр сходится по крайней мере к одной точке.
- Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну точку полного накопления в .
- Другие общие свойства:
- Для любого непрерывного отображения образ компакта — компакт.
- Теорема Вейерштрасса. Любая непрерывная вещественная функция на компактном пространстве ограниченна и достигает своих наибольших и наименьших значений.
- Замкнутое подмножество компакта компактно.
- Компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.
- Компактное хаусдорфово пространство нормально.
- Хаусдорфово пространство компактно тогда и только тогда, когда оно регулярно и H-замкнуто[4][5].
- Хаусдорфово пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое его замкнутое подмножество H-замкнуто[4][5].
- Теорема Тихонова: произведение произвольного (необязательно конечного) множества компактных множеств (с топологией произведения) компактно.
- Любое непрерывное взаимно однозначное отображение компакта в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.
- Компактные множества «ведут себя как точки»[8]. Например: в хаусдорфовом пространстве любые два непересекающиеся компактных множества обладают непересекающимися окрестностями, в регулярном пространстве любые непересекающиеся компактное и замкнутое множества обладают непересекающимися окрестностями, в тихоновском пространстве любые непересекающиеся компактное и замкнутое множества функционально отделимы.
- Каждое конечное топологическое пространство компактно.
- Свойства компактных метрических пространств:
- Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда любая последовательность точек в нём содержит сходящуюся подпоследовательность.
- Теорема Хаусдорфа о компактности даёт необходимые и достаточные условия компактности множества в метрическом пространстве.
- Для конечномерных евклидовых пространств подпространство является компактом тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. Про пространства, обладающие таким свойством, говорят, что они удовлетворяют свойству Гейне — Бореля[9].
- Лемма Лебега: для любого компактного метрического пространства и открытого покрытия существует положительное число такое, что любое подмножество, диаметр которого меньше , содержится в одном из множеств . Такое число называется числом Лебега.
См. такжеПравить
ПримечанияПравить
- ↑ Бикомпактное пространство, математическая энциклопедия
- ↑ Б. К. Завьялов. Группа Брауэра и расширения полей II. Вопрос 1., 2017
- ↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Издание 6-е, исправленное. Москва, Наука, 1989 (стр. 123)
- ↑ 1 2 3 Келли, с. 209
- ↑ 1 2 3 [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/1735/H H-замкнутое пространство] — статья из математической энциклопедии. В. И. Пономарёв.
- ↑ Энгелькинг, с.208
- ↑ См. также Лемма о вложенных отрезках
- ↑ Энгелькинг, с.210
- ↑ См. также Теорема Больцано — Вейерштрасса#Теорема Больцано — Вейерштрасса и понятие компактности
ЛитератураПравить
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Любое издание.
- О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев. Задачный учебник по топологии
- Протасов В. Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. — М.: МЦНМО. — 56 с. — (Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 31).
- Л. Шварц, Анализ, т. I, М., Мир, 1972.
- Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
- Архангельский А.В. Бикомпактное пространство // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.
- Войцеховский М. И. Компактное пространство // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.
Некоторые внешние ссылки в этой статье ведут на сайты, занесённые в спам-лист. |