Компактное пространство

Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства.

В общей топологии компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.

История

Бикомпактное пространство — понятие, введённое Павлом Сергеевичем Александровым как усиление определённого Морисом Фреше понятия компактного пространства. В первоначальном определении, топологическое пространство называлось компактным если в каждом счётном открытом покрытии этого пространства содержится его конечное подпокрытие. Однако дальнейшее развитие математики показало, что понятие бикомпактности важнее первоначального понятия компактности, и в настоящее общепринято понимать под компактностью именно бикомпактность, а компактные в старом смысле пространства называют счётно-компактными. (Термин бикомпактность дольше всего продержался в русском языке.) Оба понятия равносильны в применении к метрическим пространствам.

Французское слово фр. compact является ложным другом переводчика: оно означает не «компактный», а «компактный и хаусдорфов». Компактные пространства, априори не являющиеся хаусдорфовыми, по-французски называются фр. quasi-compact. Такое словоупотребление было введено в трактатах Бурбаки. В других языках оно не является общепринятым, за исключением трудов по абстрактной алгебраической геометрии. Базовый объект абстрактной алгебраической геометрии, спектр кольца, всегда компактное пространство, но почти никогда не хаусдорфово; из-за влиятельности трудов Гротендика, опиравшегося на Бурбаки, в текстах по абстрактной алгебраической геометрии слово квази-компактный, вообще-то несообразное с традицией, иногда допускается.

Определение

Компактное пространство — топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.

Примеры компактных множеств

• Замкнутые ограниченные множества в $\mathbb {R} ^{n}$.
• Конечные подмножества топологических пространств.
• Теорема Асколи — Арцела даёт характеризацию компактных множеств в пространстве $C(X)$ вещественных функций на метрическом компактном пространстве $X$ с нормой $\|f\|=\sup _{x}|f(x)|$: замыкание множества функций $F$ в $C(X)$ компактно тогда и только тогда, когда $F$ равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
• Пространство Стоуна булевых алгебр.
• Компактификация топологического пространства.

Связанные определения

• Подмножество топологического пространства T, являющееся в индуцированной T топологии компактным пространством, называется компактным множеством.
• Множество называется предкомпактным (или компактным относительно T), если его замыкание в T компактно.
• Пространство называется секвенциально компактным, если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
• Локально компактное пространство — топологическое пространство, в котором любая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.
• Ограниченно компактное пространство — метрическое пространство, в котором все замкнутые шары компактны.
• Псевдокомпактное пространство — тихоновское пространство, в котором каждая непрерывная вещественная функция ограничена.
• Счётно компактное пространство — топологическое пространство, в любом счётном покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.
• Слабо счётно компактное пространство — топологическое пространство, в котором любое бесконечное множество имеет предельную точку.
• H-замкнутое пространство  — хаусдорфово пространство, замкнутое в любом объемлющем его пространстве.

Термин «компакт» иногда используется для метризуемого компактного пространства, но иногда просто как синоним к термину «компактное пространство». Также «компакт» иногда используется для хаусдорфова компактного пространства. Далее, мы будем использовать термин «компакт» как синоним к термину «компактное пространство».

Свойства

• Свойства, равносильные компактности:
  • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое центрированное семейство замкнутых множеств, то есть семейство, в котором пересечения конечных подсемейств не пусты, имеет непустое пересечение.
  • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая направленность в нём имеет предельную точку.
  • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый фильтр в нём имеет предельную точку.
  • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр сходится по крайней мере к одной точке.
  • Топологическое пространство $X$ компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну точку полного накопления в $X$.
• Другие общие свойства:
  • Для любого непрерывного отображения образ компакта — компакт.
  • Теорема Вейерштрасса. Любая непрерывная вещественная функция на компактном пространстве ограниченна и достигает своих наибольших и наименьших значений.
  • Замкнутое подмножество компакта компактно.
  • Компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.
  • Компактное хаусдорфово пространство нормально.
  • Хаусдорфово пространство компактно тогда и только тогда, когда оно регулярно и H-замкнуто.
  • Хаусдорфово пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое его замкнутое подмножество H-замкнуто.
  • Теорема Тихонова: произведение произвольного (необязательно конечного) множества компактных множеств (с топологией произведения) компактно.
  • Любое непрерывное взаимно однозначное отображение компакта в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.
  • Компактные множества «ведут себя как точки». Например: в хаусдорфовом пространстве любые два непересекающиеся компактных множества обладают непересекающимися окрестностями, в регулярном пространстве любые непересекающиеся компактное и замкнутое множества обладают непересекающимися окрестностями, в тихоновском пространстве любые непересекающиеся компактное и замкнутое множества функционально отделимы.
  • Каждое конечное топологическое пространство компактно.

• Свойства компактных метрических пространств:
  • Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда любая последовательность точек в нём содержит сходящуюся подпоследовательность.
  • Теорема Хаусдорфа о компактности даёт необходимые и достаточные условия компактности множества в метрическом пространстве.
  • Для конечномерных евклидовых пространств подпространство является компактом тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. Про пространства, обладающие таким свойством, говорят, что они удовлетворяют свойству Гейне — Бореля.
  • Лемма Лебега: для любого компактного метрического пространства и открытого покрытия $\{V_{\alpha }\},\ \alpha \in A$ существует положительное число $r$ такое, что любое подмножество, диаметр которого меньше $r$, содержится в одном из множеств $V_{\alpha }$. Такое число $r$ называется числом Лебега.

См. также

• Компактификация

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Любое издание.
• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев. Задачный учебник по топологии
• Протасов В. Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. — М.: МЦНМО. — 56 с. — (Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 31).
• Л. Шварц, Анализ, т. I, М., Мир, 1972.
• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Архангельский А.В. Бикомпактное пространство // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.
• Войцеховский М. И. Компактное пространство // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.