Компактное пространство

Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства.

В общей топологии компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.

Определение

Компактное пространство — топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.

Изначально такое свойство называлось бикомпактностью (этот термин был введён П. С. Александровым и П. С. Урысоном), а в определении компактности использовались счётные открытые покрытия. Впоследствии более общее свойство бикомпактности оказалось более популярным и постепенно стало называться просто компактностью. Сейчас термин «бикомпактность» употребляется в основном лишь топологами школы П. С. Александрова. Для пространств, удовлетворяющих второй аксиоме счётности, первоначальное определение компактности равносильно современному.

Бурбаки и его последователи включают в определение компактности свойство хаусдорфовости пространства.

Примеры компактных множеств

• Замкнутые ограниченные множества в $\mathbb {R} ^{n}$.
• Конечные подмножества топологических пространств.
• Теорема Асколи — Арцела даёт характеризацию компактных множеств в пространстве $C(X)$ вещественных функций на метрическом компактном пространстве $X$ с нормой $\|f\|=\sup _{x}|f(x)|$: замыкание множества функций $F$ в $C(X)$ компактно тогда и только тогда, когда $F$ равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
• Пространство Стоуна булевых алгебр.
• Компактификация топологического пространства.

Связанные определения

• Подмножество топологического пространства T, являющееся в индуцированной T топологии компактным пространством, называется компактным множеством.
• Множество называется предкомпактным (или компактным относительно T), если его замыкание в T компактно.
• Пространство называется секвенциально компактным, если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
• Локально компактное пространство — топологическое пространство, в котором любая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.
• Ограниченно компактное пространство — метрическое пространство, в котором все замкнутые шары компактны.
• Псевдокомпактное пространство — тихоновское пространство, в котором каждая непрерывная вещественная функция ограничена.
• Счётно компактное пространство — топологическое пространство, в любом счётном покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.
• Слабо счётно компактное пространство — топологическое пространство, в котором любое бесконечное множество имеет предельную точку.
• H-замкнутое пространство  — хаусдорфово пространство, замкнутое в любом объемлющем его хаусдорфовом пространстве.

Термин «компакт» иногда используется для метризуемого компактного пространства, но иногда просто как синоним к термину «компактное пространство». Также «компакт» иногда используется для хаусдорфова компактного пространства. Далее, мы будем использовать термин «компакт» как синоним к термину «компактное пространство».

Свойства

• Свойства, равносильные компактности:
  • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое центрированное семейство замкнутых множеств, то есть семейство, в котором пересечения конечных подсемейств не пусты, имеет непустое пересечение.
  • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая направленность в нём имеет предельную точку.
  • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый фильтр в нём имеет предельную точку.
  • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр сходится по крайней мере к одной точке.
  • Топологическое пространство $X$ компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну точку полного накопления в $X$.
• Другие общие свойства:
  • Для любого непрерывного отображения образ компакта — компакт.
  • Теорема Вейерштрасса. Любая непрерывная вещественная функция на компактном пространстве ограниченна и достигает своих наибольших и наименьших значений.
  • Замкнутое подмножество компакта компактно.
  • Компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.
  • Компактное хаусдорфово пространство нормально.
  • Хаусдорфово пространство компактно тогда и только тогда, когда оно регулярно и H-замкнуто.
  • Хаусдорфово пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое его замкнутое подмножество H-замкнуто.
  • Теорема Тихонова: произведение произвольного (необязательно конечного) множества компактных множеств (с топологией произведения) компактно.
  • Любое непрерывное взаимно однозначное отображение компакта в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.
  • Компактные множества «ведут себя как точки». Например: в хаусдорфовом пространстве любые два непересекающиеся компактных множества обладают непересекающимися окрестностями, в регулярном пространстве любые непересекающиеся компактное и замкнутое множества обладают непересекающимися окрестностями, в тихоновском пространстве любые непересекающиеся компактное и замкнутое множества функционально отделимы.
  • Каждое конечное топологическое пространство компактно.

• Свойства компактных метрических пространств:
  • Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда любая последовательность точек в нём содержит сходящуюся подпоследовательность.
  • Теорема Хаусдорфа о компактности даёт необходимые и достаточные условия компактности множества в метрическом пространстве.
  • Для конечномерных евклидовых пространств подпространство является компактом тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. Про пространства, обладающие таким свойством, говорят, что они удовлетворяют свойству Гейне — Бореля.
  • Лемма Лебега: для любого компактного метрического пространства и открытого покрытия $\{V_{\alpha }\},\ \alpha \in A$ существует положительное число $r$ такое, что любое подмножество, диаметр которого меньше $r$, содержится в одном из множеств $V_{\alpha }$. Такое число $r$ называется числом Лебега.

См. также

• Компактификация

Литература

• Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа (рус.). — 4-е изд.. — М.: Наука, 1976.
• Виро, О. Я., Иванов, О. А., Нецветаев, Н. Ю., Харламов, В. М. Элементарная топология (рус.). — 2-е изд., исправл.. — М.: МЦНМО, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9.
• Протасов, В. Ю. Максимумы и минимумы в геометрии (рус.). — М.: МЦНМО, 2005. — 56 с. — (Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 31).
• Шварц, Л. Анализ (рус.). — М.: Мир, 1972. — Т. I.
• Келли, Дж. Л. Общая топология (рус.). — М.: Наука, 1968.
• Энгелькинг, Р. Общая топология (рус.). — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Архангельский, А.В. Бикомпактное пространство (рус.) // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.
• Войцеховский, М. И. Компактное пространство (рус.) // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.