Композиция функций

(перенаправлено с «Композиция отображений»)

Компози́ция (суперпози́ция) фу́нкций — это применение одной функции к результату другой.

Композиция функций и обычно обозначается [1][2], что обозначает применение функции к результату функции , то есть .

Определение

править

Пусть   функция из   в  . Образ функции   есть множество  .

Пусть даны две функции   и  , где  образ множества  . Тогда их композицией называется функция  , определённая равенством[3]:

 .

Связанные определения

править
  • Термин «сложная функция» может быть применим к композиции двух функций, каждая из каких имеет один аргумент[4]. Также он может употребляться в ситуации, когда на вход функции нескольких переменных подаётся сразу несколько функций от одной или нескольких исходных переменных[5]. Например, сложной функцией нескольких переменных можно назвать функцию   вида
     ,
потому что она представляет собой функцию  , на вход которой подаются результаты функций   и  .

Примеры композиций

править
  •  
    Пример композиции двух функций
    Композиция функций на конечных множествах:

Пусть   и  

тогда композиция  

Свойства композиции[3]

править
  • Композиция ассоциативна:
     .
  • Если  тождественное отображение на  , то есть  :
     ,
то  .
  • Если   — тождественное отображение на  , то есть  :
     ,
то  .
  • Композиция отображений  ,  , вообще говоря, не коммутативна, то есть  . Например, даны функции  ,   — тогда  , однако  .

Дополнительные свойства

править
  • Пусть функция   имеет в точке   предел  , а функция   имеет в точке   предел  . Тогда, если существует проколотая окрестность точки  , пересечение которой с множеством   отображается функцией   в проколотую окрестность точки  , то в точке   существует предел композиции функций   и выполнено равенство:  .
  • Если функция   имеет в точке   предел  , а функция   непрерывна в точке  , то в точке   существует предел композиции функций   и выполнено равенство:  .
  • Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть  топологические пространства. Пусть   и   — две функции,  ,   и  , где   — это множество всех функций, первая производная которых в заданной точке существует. Тогда  .
  • Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть  ,  ,   и  . Тогда  , и
 .

Примечания

править
  1. Обозначение. Дата обращения: 10 мая 2021. Архивировано 24 февраля 2021 года.
  2. Composition of Functions. www.mathsisfun.com. Дата обращения: 10 мая 2021. Архивировано 31 декабря 2020 года.
  3. 1 2 Кострикин, 2004, с. 37-38.
  4. Производная сложной функции. www.math24.ru. Дата обращения: 10 мая 2021. Архивировано 10 мая 2021 года.
  5. функции нескольких переменных. Дата обращения: 10 мая 2021. Архивировано 10 мая 2021 года.

Литература

править
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. — 3-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0487-Х.