Открыть главное меню

Композиция функций

Компози́ция фу́нкций (или суперпози́ция фу́нкций) — это применение одной функции к результату другой.

Композиция функций и обычно обозначается , что обозначает применение функции к результату функции , то есть .

ОпределениеПравить

Пусть   и   — две функции ( ). Тогда их композицией называется функция  , определённая равенством:

 

Связанные определенияПравить

  • Термин «сложная функция» может быть применим к композиции двух функций, тем не менее он чаще употребляется в ситуации, когда на вход функции нескольких переменных подаётся сразу несколько функций от одной или нескольких исходных переменных. Например, сложной можно назвать функцию   вида
     
потому что она представляет собой функцию  , которой на вход подаются результаты функций   и  .

Свойства композицииПравить

  • Композиция ассоциативна:
     
  • Если  тождественное отображение на  , то есть
     
то
 
  • Если   — тождественное отображение на  , то есть
     
то
 
  • Рассмотрим пространство всех биекций множества   на себя и обозначим его  . То есть, если  , то   — биекция. Тогда композиция функций из   является бинарной операцией, а  группой.   является нейтральным элементом этой группы. Обратным к элементу   является  обратная функция.
    • Группа  , вообще говоря, не коммутативна, то есть  .

Дополнительные свойстваПравить

  • Пусть функция   имеет в точке   предел  , а функция   имеет в точке   предел  . Тогда, если существует проколотая окрестность точки  , пересечение которой с множеством   отображается функцией   в проколотую окрестность точки  , то в точке   существует предел композиции функций   и выполнено равенство:  
  • Если функция   имеет в точке   предел  , а функция   непрерывна в точке  , то в точке   существует предел композиции функций   и выполнено равенство:  
  • Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть  топологические пространства. Пусть   и   — две функции,  ,   и  . Тогда  .
  • Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть  ,  ,   и  . Тогда  , и
 .