Открыть главное меню

Конечные разности

(перенаправлено с «Конечная разность»)

ОпределениеПравить

Рассмотрим интерполяционную задачу для функции  :

 

где  

Конечной разностью 1-го порядка называют разность между двумя соседними значениями   в узлах интерполяции, то есть

 

Конечной разностью 2-го порядка называют разность между двумя соседними конечными разностями 1-го порядка, то есть

 

Конечной разностью порядка   (для  ) называют разность между двумя соседними конечными разностями порядка  , то есть

 


Если ввести оператор смещения   такой, что  , то оператор восходящей конечной разности   и

 ,

который можно раскладывать по биному Ньютона. Данный способ представления   заметно упрощает работу с конечными разностями высших порядков. [Корн, Справочник по математике].

Конечные разности применяются в интерполяционном методе Ньютона.

С конечными разностями связаны понятия разделённых разностей и модуля непрерывности.

Другие обозначенияПравить

Часто также используется другое обозначение:   — конечная разность порядка   от функции   c шагом  , взятая в точке  . Например,  .

ПримерПравить

Рассмотрим пример для функции  . См. на изображение.

 
Конечные разности

Связанные понятияПравить

Видно, что конечная разность при фиксированном шаге есть линейный оператор, отображающий пространство непрерывных функций в себя. Обобщением понятия конечной разности является понятие разностного оператора.

См. такжеПравить