Конечная p-группа

Группа называется конечной -группой, если она имеет порядок, равный некоторой степени простого числа.

Основные свойства конечных p-группПравить

Пусть   — конечная  -группа, тогда

  • P — нильпотентна.
  •  , где   — центр группы P.
  • Для любого   в   существует нормальная подгруппа порядка  .
  • Если   нормальна в  , то  .
  •  .
  •  .

Некоторые классы конечных p-группПравить

В данном разделе описаны определения и свойства некоторых классов конечных  -групп, которые часто рассматриваются в научной литературе.

p-группы максимального классаПравить

Конечная  -группа порядка   называется группой максимального класса, если её ступень нильпотентности равна  .

Если   — конечная  -группа максимального класса, то   и  .

Единственными 2-группами порядка   максимального класса являются: диэдральная группа  , обобщённая группа кватернионов   и полудиэдральная группа  .

В отличие от 2-групп, случай p-групп максимального класса при p>2 значительно более сложен.

p-центральные p-группыПравить

Конечная  -группа называется  -центральной, если  . Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию мощной  -группы.

Мощные p-группыПравить

Конечная  -группа называется мощной, если   при   и   при  . Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию  -центральной  -группы.

Регулярные p-группыПравить

Конечная  -группа   называется регулярной, если для любых   выполнено  , где  . Регулярными будут, например, все абелевы  -группы. Группа не являющаяся регулярной, называется нерегулярной.

  • Любая подгруппа и факторгруппа регулярной  -группы регулярна.
  • Конечная  -группа регулярна, если любая её подгруппа, порождённая двумя элементами регулярна.
  • Конечная  -группа порядка не большего   является регулярной.
  • Конечная  -группа класс нильпотентности которой меньше   является регулярной. Также регулярны все группы класса нильпотентности 2 при  .
  • Любая конечная неабелева 2-группа является нерегулярной.

Конечные p-группы небольших порядковПравить

Число различных  -групп порядка  Править

  • Число неизоморфных групп порядка   равно 1: группа  .
  • Число неизоморфных групп порядка   равно 2: группы   и  .
  • Число неизоморфных групп порядка   равно 5, из них три абелевы группы:  ,  ,   и две неабелевы: при   —   и  ; при p = 2 —  ,  .
  • Число неизоморфных групп порядка   равно 15 при  , число групп порядка   равно 14.
  • Число неизоморфных групп порядка   равно   при  . Число групп порядка   равно 51, число групп порядка   равно 67.
  • Число неизоморфных групп порядка   равно   при  . Число групп порядка   равно 267, число групп порядка   равно 504.
  • Число неизоморфных групп порядка   равно   при  . Число групп порядка   равно 2328, число групп порядка   равно 9310, число групп порядка   равно 34297.

p-группы порядка  , асимптотикаПравить

При   число неизоморфных групп порядка   асимптотически равно  .

Знаменитые проблемы теории конечных p-группПравить

Группа автоморфизмов конечной p-группыПравить

Для групп  -автоморфизмов конечной  -группы существуют несложные верхние оценки, однако оценки снизу гораздо сложнее. В течение более полувека остаётся открытой следующая гипотеза:

  • Пусть   является нециклической  -группой порядка  , тогда  .

Эта гипотеза подтверждена для обширного класса  -групп: абелевых групп, для всех групп порядков не более  , групп максимального класса. Однако общего подхода к этой проблеме пока не найдено.

Гипотеза ХигменаПравить

Дж. Томпсоном была доказана известная теорема, утверждающая, что конечная группа с регулярным автоморфизмом простого порядка   нильпотентна.

  • Пусть группа   обладает регулярным автоморфизмом простого порядка  . Тогда её класс нильпотентности равен  .

Пока доказаны лишь значительно более слабые оценки:   (Кострикин, Крекнин).

Ослабленная гипотеза БернсайдаПравить

Гипотеза Бернсайда состояла в том, что если есть группа с   образующими и периодом   (то есть все её элементы   удовлетворяют соотношению  ), то она конечна. Если это так, обозначим максимальную из этих групп через  . Тогда все другие группы с таким же свойством будут её факторгруппами. Действительно, как легко показать группа   является элементарной абелевой 2-группой. Ван дер Варден доказал, что порядок группы   равен  . Однако, как показали Новиков и Адян, при   и при любом нечётном   группа   бесконечна.

Ослабленная гипотеза Бернсайда утверждает, что порядки конечных  -порождённых групп периода   ограничены. Эта гипотеза была доказана Ефимом Зельмановым. Для конечных   групп она означает, что существует лишь конечное число   групп данной экспоненты и с данным числом образующих.

Нерегулярные p-группыПравить

Классификация нерегулярных p-групп порядка  .

ЛитератураПравить

  • Белоногов В. А. Задачник по теории групп — М.: Наука, 2000.
  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
  • Холл М. Теория групп. Издательство иностранной литературы — М., 1962.
  • Хухро E.И. O p-группах автоморфизмов абелевых p-групп — Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 359—371.
  • Berkovich Y. Groups of Prime Power Order, Parts I, II, (in preparation).
  • Berkovich Y., Janko Z. Groups of Prime Power Order, Part III, (in preparation).
  • Gorenstein D. Finite groups — N.Y.: Harper and Row, 1968.
  • Huppert B. Endliche Gruppen I. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
  • Lazard M. Groupes analytiques p-adiques — Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389—603.
  • Lubotzky A., Mann A. Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484—505; II: p-adic analytic groups, ibid., 506—515.
  • Weigel T. Combinatorial properties of p-central groups — Freiburg Univ., 1996, preprint.
  • Weigel T. p-Central groups and Poincare duality — Freiburg Univ., 1996, preprint.

СсылкиПравить