Конечное расширение

Коне́чное расшире́ние — расширение поля , такое, что конечномерно над как векторное пространство. Размерность векторного пространства над называется степенью расширения и обозначается .

Свойства конечных расширенийПравить

Конечное расширение всегда алгебраично. В самом деле пусть  , так как для любого элемента   набор из   элементов   не может быть линейно независимым, значит существует многочлен над   степени не выше  , такой, что   является его корнем.

Простое алгебраическое расширение   является конечным. Если неприводимый многочлен   над   имеет степень  , то  .

В башне полей  , поле   конечно над   тогда и только тогда, когда   конечно над   и   конечно над  . Это легко следует из основных свойств векторных пространств. В этом случае если   — базис   над   и   — базис   над   то   — базис   над  , отсюда  .

Конечное расширение E является конечно порождённым. В качестве порождающих элементов можно взять элементы любого базиса  . Обратно, любое конечно порождённое алгебраическое расширение является конечным. В самом деле,  . Элементы   будучи алгебраическими над   остаются таковыми и над бо́льшим полем  . Далее применяем теоремы о конечности простых алгебраических расширений и башне конечных расширений.

Если   конечно, то для любого расширения   то, (если   и   содержатся в каком-нибудь поле) композит полей   является конечным расширением  ).

ЛитератураПравить

  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра — М:, Наука, 1975
  • Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 — М:, ИЛ, 1963
  • Ленг С. Алгебра — М:, Мир, 1967