Контактная структура

Контактная структура — структура на гладком многообразии нечётной размерности , состоящая из гладкого поля касательных гиперплоскостей, удовлетворяющих формулируемому ниже условию невырожденности. Такая структура всегда существует на многообразии контактных элементов многообразия. Контактная структура тесно связана с симплектической и является её аналогом для нечётномерных многообразий.

ОпределениеПравить

Контактная структура на многообразии определяется заданием такой 1-формы  , что

 

  называется контактной формой. Контактная структура существует только на ориентируемом многообразии и определяет единственное векторное поле   на   такое, что

 
 

для любого векторного поля  .

СвойстваПравить

  • Размерность контактного многообразия всегда нечётна.
  • На любом подмногообразии уровня гамильтониана, заданного на фазовом пространстве, возникает естественная контактная структура.
  • С каждым симплектическим 2n-мерным многообразием каноническим образом связано (2n+1)-мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией.
    • Обратно, для любого (2n+1)-мерного контактного многообразия существует его симплектизация, являющаяся (2n+2)-мерным многообразием.

Вариации и обобщенияПравить

Почти контактная структура

Пусть   — нечётномерное гладкое многообразие  .

Почти контактной структурой на многообразии   называется тройка   тензорных полей на этом многообразии, где   — дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой структуры,   — векторное поле, называемое характеристическим,   — эндоморфизм  , называемый структурным эндоморфизмом. При этом

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Если, кроме того, на   фиксирована риманова структура  , такая что

 

четвёрка   называется почти контактной метрической (или короче АС-) структурой. Многообразие, на котором задана (почти) контактная [метрическая] структура, называется, соответственно, (почти) контактным [метрическим] многообразием.

ЛитератураПравить

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
  • Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия.