Ко́пула (лат. copula «соединение, связка») — многомерная функция распределения, определённая на -мерном единичном кубе , такая, что каждое её маргинальное распределение равномерно на интервале .

Cumulative and density distribution of Gaussian copula with ρ = 0.4
Кумулятивная функция распределения и плотность распределения гауссовой копулы с ρ = 0.4

Теорема СклараПравить

Теорема Склара заключается в следующем: для произвольной двумерной функции распределения   с одномерными маргинальными функциями распределения   и   существует копула, такая что

 

где мы отождествляем распределение   с его функцией распределения. Копула содержит всю информацию о природе зависимости между двумя случайными величинами, которой нет в маргинальных распределениях, но не содержит информации о маргинальных распределениях. В результате информация о маргиналах и информация о зависимости между ними отделяются копулой друг от друга.

Некоторые свойства копулы имеют вид:

 
 

Границы Фреше—Хёфдинга для копулыПравить

Минимальная копула — нижняя граница для всех копул, только в двумерном случае соответствует строго отрицательной корреляции между случайными величинами:

 

Максимальная копула — верхняя граница для всех копул, соответствует строго положительной корреляции между случайными величинами:

 

Архимедовы копулыПравить

Одна частная простая форма копулы:

 

где   называется функцией-генератором. Такие копулы называются архимедовыми. Любая функция-генератор, которая удовлетворяет приведённым ниже свойствам, служит основой для правильной копулы:

 

Копула-произведение, также называемая независимой копулой, — это копула, которая не имеет зависимостей между переменными, её функция плотности всегда равна единице.

 

Копула Клейтона (Clayton):

 

Для   в копуле Клейтона, случайные величины статистически независимы.

Подход, основанный на функциях-генераторах, может быть распространён для создания многомерных копул при помощи простого добавления переменных.

Эмпирическая копулаПравить

При анализе данных с неизвестным распределением, можно построить «эмпирическую копулу» путём такой свёртки, чтобы маргинальные распределения получились равномерными. Математически это можно записать так:

  Число пар   таких что  

где x(i) —представляет i-ая порядковая статистика x.

Гауссова копулаПравить

Гауссовы копулы широко применяются в финансовой сфере. Для n-мерного случая копула представима в виде[1][2]:

 ,

где:

  •   — частные распределения;
  •   — n-мерное совместное нормальное распределение с положительно полуопределённой корреляционной матрицей   размерностью  ;
  •   — обратная функция гауссовского распределения.

ПримененияПравить

 
Примеры двумерных копул, используемых в финансах.

Моделирование зависимостей с помощью копул широко используется применительно к оцениванию финансовых рисков и в страховом анализе — например, для ценообразования обеспеченных долговых обязательств (CDOs). [3]

Кроме того, копулы также применялись к другим страховым задачам как гибкий инструмент.

ПримечанияПравить

  1. Meissner, Gunter. 4.3.1 The Gaussian Copula // Correlation risk modeling and management : an applied guide including the Basel III correlation framework (англ.). — Wiley, 2014. — P. 76. — ISBN 111879690X.
  2. Благовещенский Ю. Н. Основные элементы теории копул // Прикладная эконометрика. — 2012. — № 2(26). — С. 113—130.
  3. Meneguzzo, David (2003), Copula sensitivity in collateralized debt obligations and basket default swaps, Journal of Futures Markets Т. 24 (1): 37–70, DOI 10.1002/fut.10110 

ЛитератураПравить

  • Ю. Н. Благовещенский Основные элементы теории копул // Прикладная эконометрика, № 2 (26), 2012. С. 113-130.
  • Clayton David G. A model for association in bivariate life tables and its application in epidemiological studies of familial tendency in chronic disease incidence. — Biometrika. — 1978. — 65. — pp. 141—151. JSTOR (subscription)
  • Frees, E. W., Valdez, E. A. Understanding Relationships Using Copulas. — North American Actuarial Journal. — 1998. — 2. — pp. 1-25.
  • Nelsen Roger B. An Introduction to Copulas. — Springer, 1999. — 236 p. — ISBN 0-387-98623-5.
  • Rachev S., Menn C., Fabozzi F. Fat-Tailed and Skewed Asset Return Distributions. — Wiley, 2005. — 369 p. — ISBN 0-471-71886-6.
  • Sklar A. Fonctions de répartition à n dimensions et leures marges. — Publications de l’Institut de Statistique de L’Université de Paris. — 1959. — 8. — pp. 229—231.

СсылкиПравить

См. такжеПравить