y=Br(x)

В алгебре корень Бринга или ультрарадикал — это аналитическая функция , задающая единственный действительный корень многочлена . Свойство для любых

Разрез на комплексной плоскости проходит вдоль вещественной полуоси .

Жерар (англ.) показал, что все уравнения 5-й степени могут быть решены в радикалах и корнях Бринга, которые были введены Брингом (англ.).

Нормальная форма Бринга — ЖерараПравить

Если

 

тогда, если

 

мы можем получить полином 5-й степени от  , сделав преобразование Чирнгауза, например, используя результант для исключения  . Мы можем затем подобрать конкретные значения коэффициентов   для того, чтобы получить полином от   в форме

 

Эта неполная форма, открытая Брингом и переоткрытая Жераром, называется нормальной формой Бринга — Жерара. Метод «в лоб» при попытке приведения к нормальной форме Бринга — Жерара не срабатывает; нужно делать это шаг за шагом, применяя несколько преобразований Чирнгауза, которые современные системы аналитических вычислений делают довольно легко.

В начале, подставляя   вместо  , избавляемся от члена с  . Затем, применяя идею Чирнгауза для исключения и члена  , введём переменную   и найдём такие   и  , чтобы в результате коэффициенты при   и   стали равны 0. Конкретнее, подстановки

  и
 

исключают члены третьей и четвёртой степени одновременно из

 

Следующим шагом делаем подстановку

 

в форму

 

и исключаем также член второй степени, в процессе чего не потребуется решения уравнений степени выше 3. При этом выражения для   и   содержат квадратные корни, а в выражении для   присутствует корень третьей степени.

Общий вид сравнительно легко вычислить с помощью компьютерных систем типа Maple или Mathematica, но он слишком громоздкий, поэтому лучше опишем метод, который затем может быть применён в конкретном случае. В любом частном случае можно составить систему из трёх уравнений для коэффициентов   и решить её. Одно из решений, полученных таким образом, будет включать корни многочленов не выше третьей степени; рассмотрев затем результант с вычисленными коэффициентами, сведём уравнение к форме Бринга — Жерара. Корни первоначального уравнения выражаются через корни полученного уравнения.

Рассматриваемые как алгебраическая функция, решения уравнения

 

зависят от двух параметров,   и  , однако заменой переменной можно видоизменить уравнение так, чтобы неизвестная была функцией уже только одного параметра. Так, если положить

 

придём к форме

 

которая содержит   как алгебраическую функцию одного комплексного, вообще говоря, параметра  .

Корни БрингаПравить

Как функции комплексной переменной t, корни x уравнения

 

имеют точки ветвления, где дискриминант 800 000(t4 - 1) обращается в ноль, то есть в точках 1, −1, а также i и -i. Монодромия вокруг любой из точек ветвления обменивает две из них, оставляя одну на месте. Для вещественных значений t, больших или равных −1, наибольший вещественный корень есть функция от t, монотонно возрастающая от 1; назовём эту функцию корень Бринга, BR(t). Выбирая ветвь, обрезанную вдоль вещественной оси от   до −1, мы можем продолжить корень Бринга на всю комплексную плоскость, устанавливая значения вдоль ветви так, чтобы получалось аналитическое продолжение вдоль верхней полуплоскости.

Конкретно, положим  , и последовательность ai определим рекуррентно

 
 
 

 

Для комплексных значений t таких, что |t - 57| < 58, получим

 

что можно аналитически продолжить, о чём было уже упомянуто.

Корни x5 — 5x — 4t = 0 можно теперь выразить в терминах корней Бринга таким образом:

 

для n от 0 до 3, и

 

для пятого корня.

Решение общего уравнения пятой степениПравить

Мы можем теперь выразить корни полинома

 

в терминах радикалов Бринга как

 

для подсчёта корня достаточно брать только 1 значение из 4-x  

 .

Итак, у нас есть сведение к форме Бринга-Жерара в терминах разрешимых полиномиальных уравнений, при этом используются полиномиальные преобразования, включающие выражения в корнях не выше четвёртой степени. Это значит, что преобразования могут быть обращены нахождением корней многочлена, выраженных в радикалах. Эта процедура порождает лишние решения, но если отсечь их численными методами, то получим выражение для корней уравнения пятой степени через квадратные, кубические корни и радикалы Бринга, что т.о. будет алгебраическим решением в терминах алгебраических функций одной переменной - алгебраическим решением общего уравнения пятой степени.


ПримерыПравить

1)  

 

2)  

 ,

функция   определена ниже

3) 

 

 .

4)  

 

 

 

5)  

  

6)  

 

График функцииПравить

Для классификации введём дискриминант  

Тогда в зависимости от знака D тип графика можно разбить на 3 случая

 
D>0

 

Максимум и минимум (если существуют) находятся по одну сторону от оси OX

 
D<0

1 действительный корень и 4 комплексных корня

 

Максимум и минимум находятся по разные стороны от оси OX

3 действительных корня и два комплексных.

 
D=0

 

Максимум и минимум (если существуют) находятся по одну сторону от оси OX

Полином имеет кратные корни .Их можно найти по формуле: , где  -наибольший общий делитель.

Если  , то уравнение имеет кратные корни.

Разрешимые классы уравнений 5 степениПравить

1)  

 .

2) Если в уравнении   ,  

  то корни выражаются через:

 , где  , ,

 

 

 

 

Другие свойстваПравить

Много других свойств корней Бринга было получено, первые были сформулированы в терминах модулярных эллиптических функций Шарлем Эрмитом в 1858. Напишем основные свойства:

0. 

  1.  
  2.  
  3.  
  4.   , как следствие из 3
  5.  
  6.  

Разрешимость в радикалахПравить

 

 

если  ,

то уравнение разрешимо в стандартных радикалах.

Разложение в ряд при  Править

Введём:  ,  

Ряд примет вид:  

 
y=H(x)

 

Тогда:

при  

 , где

при  

 

 

 
y=L(x)

где  

Разложение в ряд при  Править

  или

 

Частные значенияПравить

 

 

 


Решение через пределыПравить

Дано уравнение:  , его корень можно представить в виде:

 , или  

Решение через тета функцииПравить

 

1) , 

  для всех 5 корней

2) Для   определим:

 

 - Эта-функция Дедекинда[en]

 

Тогда:  , знак выбирается соответственно.

Вывод ГлассераПравить

По М. Л. Глассеру (см. ссылку внизу) можно найти решение любого полиномиального уравнения из трёх слагаемых вида:

 

В частности, произвольное уравнение пятой степени может быть сведено к такой форме с помощью преобразований Чирнхгауза, показанных выше. Возьмём  , где общая форма:

 

а

 

Формула Лагранжа показывает, что любая аналитическая функция f в окрестности корня преобразованного общего уравнения относительно ζ может быть выражена в виде бесконечного ряда:

 

Если мы положим   в этой формуле, то сможем получить корень:

 

Следующие N-2 корня могут быть найдены заменой   на другие корни (N-1)-й степени из единицы, а последний корень - из теоремы Виета (например, используя тот факт, что сумма всех корней многочлена трёхчленной формы, приведённой выше, равна 1). С помощью теоремы умножения Гаусса[en] вышеуказанный бесконечный ряд может быть разбит в конечную сумму гипергеометрических функций:

 
 

где  .

 
 
 
 

Корни уравнения тогда можно представить как сумму самое большее N-1 гипергеометрических функций. Применяя этот метод к редуцированной форме Бринга-Жеррара, определим следующие функции:

 

которые суть гипергеометрические функции, присутствующие в рядах выше. Корни уравнения пятой степени тогда:

 

Это по существу тот же результат, что был получен методом дифференциальной резольвенты, разработанным Джеймсом Коклом[en]} и Робертом Харлеем в 1860 году.

Дифференциальная резольвентаПравить

 

Функция φ может быть определена так:

 

Тогда дифференциальная резольвента такова:

 

См. такжеПравить

Внешние ссылкиПравить

  • M.L. Glasser. The Quadratic Formula Made Hard: A Less Radical Approach to Solving Equations. Статья доступна на arXiv.org здесь (недоступная ссылка)