Корень многочлена

Корень многочлена (не равного тождественно нулю)

над полем  — это элемент (либо элемент расширения поля ) такой, что выполняются два следующих равносильных условия:

  • данный многочлен делится на многочлен ;
  • подстановка элемента вместо обращает уравнение

в тождество, то есть значение многочлена становится равным нулю.

Равносильность двух формулировок следует из теоремы Безу. В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы.

Говорят, что корень имеет кратность , если рассматриваемый многочлен делится на и не делится на Например, многочлен имеет единственный корень, равный кратности . Выражение «кратный корень» означает, что кратность корня больше единицы.

Говорят, что многочлен имеет корней без учёта кратности, если каждый его корень учитывается при подсчёте один раз. Если же каждый корень учитывается количество раз, равное его кратности, то говорят, что подсчёт ведётся с учётом кратности.

СвойстваПравить

  • Количество корней многочлена с учётом кратности не меньше, чем без учёта кратности.
  • Число корней многочлена степени   не превышает   даже в том случае, если кратные корни считать с учётом кратности.
  • Всякий многочлен   с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень (основная теорема алгебры).
    • Аналогичное утверждение верно для любого алгебраически замкнутого поля на месте поля комплексных чисел (по определению).
    • Более того, многочлен с вещественными коэффициентами   можно записать в виде
 
где   — (в общем случае комплексные) корни многочлена  , возможно с повторениями, при этом если среди корней   многочлена   встречаются равные, то их общее значение называется кратным корнем, а количество — кратностью этого корня.
  • Число комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени   с учётом кратности равно  . При этом все чисто комплексные корни (если они есть) многочлена с вещественными коэффициентами можно разбить на пары сопряжённых одинаковой кратности. Таким образом, многочлен четной степени с вещественными коэффициентами может иметь с учётом кратности только чётное число вещественных корней, а нечётной — только нечётное.
  • Корни многочлена связаны с его коэффициентами формулами Виета.

Нахождение корнейПравить

Способ нахождения корней линейных и квадратичных многочленов в общем виде, то есть способ решения линейных и квадратных уравнений, был известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения общего уравнения третьей степени продолжались долгое время, пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро, Никколо Тарталья и Джероламо Кардано. Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени.

То, что корни общего уравнения пятой степени[en] и выше не выражаются при помощи рациональных функций и радикалов от коэффициентов (то есть то, что сами уравнения не являются разрешимыми в радикалах), было доказано норвежским математиком Нильсом Абелем в 1826 году[1]. Это совсем не означает, что корни такого уравнения не могут быть найдены. Во-первых, при некоторых особых комбинациях коэффициентов корни уравнения всё же могут быть определены (см., например, возвратное уравнение). Во-вторых, существуют формулы для корней уравнений 5-й степени и выше, использующие специальные функции — эллиптические или гипергеометрические (см., например, корень Бринга).

В случае, если все коэффициенты многочлена рациональны, то нахождение его корней приводится к нахождению корней многочлена с целыми коэффициентами. Для рациональных корней таких многочленов существуют алгоритмы нахождения перебором кандидатов с использованием схемы Горнера, причем при нахождении целых корней перебор может быть существенно уменьшен приемом чистки корней. Также в этом случае можно использовать полиномиальный LLL -алгоритм.

Для приблизительного нахождения (с любой требуемой точностью) вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами используются итерационные методы, например, метод секущих, метод бисекции, метод Ньютона, Метод Лобачевского — Греффе. Количество вещественных корней многочлена на интервале может быть определено при помощи теоремы Штурма.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить