Тригонометрические функции

(перенаправлено с «Котангенс»)
Запросы «sin» и «синус» перенаправляются сюда; у терминов sin и синус есть также другие значения.

Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции[1], которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла дуги в круге). Эти функции нашли широкое применение в самых разных областях науки. По мере развития математики определение тригонометрических функций было расширено, в современном понимании их аргументом может быть произвольное вещественное или комплексное число.

Рис. 1. Графики тригонометрических функций:  синуса,  косинуса,  тангенса,  котангенса,  секанса,  косеканса

Раздел математики, изучающий свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

К тригонометрическим функциям традиционно причисляют:

прямые тригонометрические функции:
  • синус ();
  • косинус ();
производные тригонометрические функции:
  • тангенс ;
  • котангенс ;
  • секанс ;
  • косеканс ;
обратные тригонометрические функции:
  • арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс и арккосеканс.

В типографике литературы на разных языках сокращённое обозначение тригонометрических функций различно, например, в англоязычной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются , , . До Второй мировой войны в Германии и во Франции эти функции обозначались так же, как принято в русскоязычных текстах[2], но потом в литературе на языках этих стран был принят англоязычный вариант записи тригонометрических функций.

Кроме этих шести широко известных тригонометрических функций, иногда в литературе используются некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т. д.).

Синус и косинус вещественного аргумента представляют собой периодические, непрерывные и бесконечно дифференцируемые вещественнозначные функции. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначны, периодичны и бесконечно дифференцируемы, за исключением счётного числа разрывов второго рода: у тангенса и секанса в точках , а у котангенса и косеканса — в точках .

Графики тригонометрических функций показаны на рис. 1.

Способы определения

править

Определение для любых углов

править
 
Рис. 2. Определение тригонометрических функций

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически[3]. В декартовой системе координат на плоскости построим окружность единичного радиуса ( ) с центром в начале координат  . Всякий угол станем рассматривать как поворот от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча   (точку   выбираем на окружности), при этом направление поворота против часовой стрелки считаем положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Абсциссу точки   обозначим  , а ординату —   (рис. 2).

 
Рис. 3. Численные значения тригонометрических функций угла   в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице

Синусом угла   называется ордината точки   единичной окружности, где   получается поворотом   на угол   в положительном направлении (против часовой стрелки), если  , и в отрицательном (по часовой стрелке), если  .

Косинусом угла   называется абсцисса точки   единичной окружности, где   получается поворотом   на угол   в положительном направлении (против часовой стрелки), если  , и в отрицательном (по часовой стрелке), если  .

Тангенсом угла   называется отношение ординаты точки   единичной окружности к её абсциссе, причём точка   не принадлежит оси ординат.

Котангенсом угла   называется отношение абсциссы точки   единичной окружности к её ординате, причём точка   не принадлежит оси абсцисс[4].

Таким образом, определения тригонометрических функций выглядят следующим образом:

  •  ,  ;
  •  ,  ;
  •  ,  .

Нетрудно видеть, что такое определение также основывается на отношениях прямоугольного треугольника, с тем отличием, что учитывается знак ( ). Поэтому тригонометрические функции можно определить и по окружности произвольного радиуса  , однако формулы придётся нормировать. На рис. 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

В тригонометрии удобным оказывается вести счёт углов не в градусной мере, а в радианной. Так, угол в   запишется длиной единичной окружности  . Угол в   равен, соответственно   и так далее. Заметим, что угол на   отличающийся от   по рисунку эквивалентен  , вследствие чего заключим, что тригонометрические функции периодичны.

Наконец, определим тригонометрические функции вещественного числа   тригонометрическими функциями угла, радианная мера которого равна  .

Определение для острых углов

править
 
Рис. 4. Тригонометрические функции острого угла
 
Определение тангенса. Марка СССР 1961 года

В геометрии тригонометрические функции острого угла определяются отношениями сторон прямоугольного треугольника[5]. Пусть   — прямоугольный (угол   прямой), с острым углом   и гипотенузой  . Тогда:

  •   (синусом угла   называется отношение противолежащего катета к гипотенузе). Синус можно рассматривать как «коэффициент сжатия» длины отрезка при наблюдении за ним под углом, то есть насколько укорачивается проекция отрезка при его наклоне на определенный угол[6].
  •   (косинусом угла   называется отношение прилежащего катета к гипотенузе);
  •   (тангенсом угла   называется отношение противолежащего катета к прилежащему). Тангенс можно рассматривать как масштабирующий коэффициент или коэффициент сравнения: насколько противолежащий катет больше прилежащего. Если тангенс равен 1, то катеты равны. Данное свойство используется в математическом анализе в определении производной: насколько изменение единицы измерения ординаты больше изменения единицы измерения абсциссы. Если тангенс равен 1, то изменения единиц измерения равны. В геометрии тангенс является безразмерной величиной (длина противолежащего катета ∕ длина прилежащего катета, м ∕ м), но применительно к вычислению производной тангенс может иметь размерность, например, скорость тела есть путь ∕ время, то есть м ∕ с.
  •   (котангенсом угла   называется отношение прилежащего катета к противолежащему);
  •   (секансом угла   называется отношение гипотенузы к прилежащему катету) .
  •   (косекансом угла   называется отношение гипотенузы к противолежащему катету).

Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. (См.: теорема синусов, теорема косинусов).

Определение как решений дифференциальных уравнений

править

Синус и косинус можно определить как единственные функции, вторые производные которых равны самим функциям, взятым со знаком минус:

 
 

То есть задать их как чётное (косинус) и нечётное (синус) решения дифференциального уравнения

 

с дополнительными условиями:   для косинуса и   для синуса.

Из приведенных решений следует важный вывод для теории радиотехнических цепей: синусоидальный сигнал не искажает свою форму при прохождении по RCL-цепям, искажаются только амплитуда и фаза. Подобным свойством обладает экспонента, но она не является периодической функцией.[значимость факта?]

Определение как решений функциональных уравнений

править

Функции косинус и синус можно определить как решения (  и   соответственно) системы функциональных уравнений[7]:

 

при дополнительных условиях:

    и   при  .

Определение через ряды

править

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу, и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов:

 
 

Пользуясь этими формулами, а также равенствами       и   можно найти разложения в ряд и других тригонометрических функций:

 
 
 
 

где

  — числа Бернулли,
  — числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

править

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. (« » означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).

 
Значения косинуса и синуса на окружности
Радианы                
Градусы                
                 
                 
                 
                 
                 
                 

Значения тригонометрических функций нестандартных углов

править
Радианы                  
Градусы                  
                   
                   
                   
                   
                   
                   
Радианы                
Градусы                
                 
                 
                 
                 
                 
                 

Свойства тригонометрических функций

править

Простейшие тождества

править

Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то согласно уравнению единичной окружности ( ) или теореме Пифагора имеем для любого  :

 

Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.

Разделив это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, получим:

 
 

Из определения тангенса и котангенса следует, что

 

Любую тригонометрическую функцию можно выразить через любую другую тригонометрическую функцию с тем же аргументом (с точностью до знака из-за неоднозначности раскрытия квадратного корня). Нижеприведённые формулы верны для  :

sin cos tg ctg sec cosec
             
             
             
             
             
             

Непрерывность

править
  • Синус и косинус — непрерывные функции.
  • Тангенс и секанс имеют точки разрыва  , где   — любое целое.
  • Котангенс и косеканс имеют точки разрыва  , где   — любое целое.

Чётность

править

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

 
 
 
 
 
 

Периодичность

править

Функции   — периодические с периодом  , функции   и   — c периодом  .

Формулы приведения

править

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

 
 
 
 

Здесь   — любая тригонометрическая функция,   — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса),   — целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол   острый, например:

  или что то же самое:  

Некоторые формулы приведения:

               
               
               
               
               

Интересующие формулы приведения так же могут легко быть получены рассмотрением функций на единичной окружности.

Формулы сложения и вычитания

править

Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:

 
 
 
 

Аналогичные формулы для суммы трёх углов:

 
 

Формулы для кратных углов

править

Формулы двойного угла:

 
 
 
 

Формулы тройного угла:

 
 
 
 

Прочие формулы для кратных углов:

 
 
 
 
 
 
 
 
  следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для гамма-функции.

Из формулы Муавра можно получить следующие общие выражения для кратных углов:

 
 
 
 

где   — целая часть числа  ,   — биномиальный коэффициент.

Формулы половинного угла:

 
 
 
 
 
 

Произведения

править

Формулы для произведений функций двух углов:

 
 
 
 
 
 

Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:

 
 
 
 

Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.

Степени