Дельтоида (или кривая Штейнера) — плоская алгебраическая кривая, описываемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности, радиус которой втрое больше радиуса первой.

Дельтоида
Дельтоида

Дельтоида является частным случаем гипоциклоиды при .

История

править

Обычные циклоиды были изучены Галилео Галилеем и Марином Мерсенном (Marin Mersenne) еще в 1599 году, но специальные циклоидальные кривые были впервые рассмотрены Оле Ремерем (Ole Rømer) в 1674 году при изучении лучшей формы зубьев для зубчатых колес. Леонард Эйлер впервые упоминает настоящую дельтоиду в 1745 году в связи с задачей из оптики.

Название кривая получила за сходство с греческой буквой Δ. Её свойства впервые изучались Л. Эйлером в XVIII веке, а затем Я. Штейнером в XIX.

Уравнения

править
 
Дельтоида изображена красным цветом.
 
 

где a — радиус катящегося круга, b — радиус большего круга, по которому катится вышеупомянутый круг. (На рисунке выше b = 3a.)

  • В комплексных координатах оно принимает вид
 .
 
  • Параметрическое:
 , где   — треть полярного угла.
 

Свойства

править
 
  • Кривая имеет три особенности (каспа) соответствующие   в параметрическом уравнении выше.
  • 3 вершины дельтоиды — это 3 вершины равностороннего треугольника.
  • Дельтоида является рациональной кривой нулевого рода.
  • Длина пересечения области, ограниченной дельтоидой, с любой её касательной фиксирована и равна  , где   — радиус неподвижной окружности.
  • Дельтоида — алгебраическая кривая 4 порядка.
  • Длина кривой  , где   — радиус неподвижной окружности.
  • Площадь, ограничиваемая дельтоидой,  .
  • Касательные к двум ветвям дельтоиды (на рисунке все три ветви чёрного цвета), проведённые в двух точках концов отрезка касательной к третьей её ветви (именуемых двумя связными точками, они на рисунке синего цвета), пересекаются всегда под прямым углом (на рисунке не показан). Вершина этого прямого угла всегда лежит на окружности малого круга (на том же рисунке малый круг красного цвета и описан красной точкой в середине синего отрезка), касающегося трёх указанных ветвей[1].

Приложения

править

Дельтоиды возникают в нескольких областях математики. Например:

См. также

править

Примечания

править
  1. Савёлов, 1960, с. 127.
  2. Lockwood, 1961.
  3. Dunn, J. A., and Pretty, J. A., "Halving a triangle," Mathematical Gazette 56, May 1972, 105—108.
  4. Area bisectors of a triangle. Дата обращения: 29 октября 2019. Архивировано 21 ноября 2017 года.

Литература

править
  • Савёлов А.А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. Справочное руководство / Под ред. А.П. Нордена. — М.: Физматлит, 1960. — С. 124—129.
  • В. Березин. Дельтоида // Квант. — 1977. — № 3. — С. 19.
  • E. H. Lockwood. Chapter 8: The Deltoid // A Book of Curves (англ.). — Cambridge University Press, 1961.