Открыть главное меню

Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Утверждения в этой статье приведены для пространства , но могут быть обобщены на пространство произвольной размерности.

ОпределенияПравить

Пусть   — гладкая, без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически.

 
где   — отрезок параметризации: рассматриваем часть кривой.

Пусть   — разбиение отрезка параметризации  , причем  .

Зададим разбиение кривой  .

За   обозначим часть кривой от точки   до точки  ,  .

Введем мелкость разбиения отрезка параметризации  :  .

Введем набор промежуточных точек разбиения отрезка параметризации  :  .

Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой  .

Пусть нам также даны 4 функции, которые определены вдоль кривой  :  ,  ,  ,  .

Рассмотрим 4 интегральные суммы.

  1. Интегральная сумма криволинейного интеграла первого рода:
     .
  1. Три интегральных суммы криволинейного интеграла второго рода:
     ,
     ,
     .

Если  , то говорят, что функция   интегрируема в смысле криволинейного интеграла первого рода по кривой  , а сам предел называют криволинейным интегралом первого рода функции   по кривой   и обозначают  . Здесь   — дифференциал кривой.

Если  ,  ,  , то говорят, что функции  ,   и   интегрируемы в смысле криволинейного интеграла второго рода по кривой  , а сами пределы называют криволинейными интегралами второго рода функций  ,   и   по кривой   и обозначают

 
 
 

Сумму криволинейных интегралов второго рода функций  ,   и   также называют криволинейным интегралом второго рода вектор-функции   и обозначают:

 .

Если кривая   замкнута (начало совпадает с концом), то в этом случае вместо значка   принято писать  .

Криволинейный интеграл первого родаПравить

 
Иллюстрация криволинейного интеграла первого рода на скалярном поле

СвойстваПравить

  1. Линейность:
     
  2. Аддитивность: если   в одной точке, то
     
  3. Монотонность: если   на  , то
     
  4. Теорема о среднем для непрерывной вдоль   функции  :
     

Очевидно, что:  .

5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла:  .

6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

ВычислениеПравить

Пусть   — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция   определена и интегрируема вдоль кривой   в смысле криволинейного интеграла первого рода. Тогда

 .

Здесь точкой обозначена производная по  :  .

Криволинейный интеграл второго родаПравить

 
Иллюстрация криволинейного интеграла второго рода на векторном поле

СвойстваПравить

1. Линейность:

 

2. Аддитивность:

 

3.  

Замечание. Для криволинейных интегралов второго рода несправедливы свойство монотонности, оценка модуля и теорема о среднем.

ВычислениеПравить

Пусть   — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция   определена и интегрируема вдоль кривой   в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда

 ,
 ,
 .

Если обозначить за   единичный вектор касательной к кривой  , то нетрудно показать, что

 
 
 

Взаимосвязь криволинейных интеграловПравить

Пусть   — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении),   — единичный вектор, касательный к кривой  . Пусть также координаты вектор-функции   определены и интегрируемы вдоль кривой   в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда

 
 
 
 


Механические приложенияПравить

  • Работа A по перемещению материальной точки вдоль кривой l под воздействием силы   вычисляется по формуле
 
  • Масса m кривой l, линейная плотность которой вдоль кривой l равна μ(x, y, z), выражается интегралом
 
  • Координаты (xc, yc, zc) центра масс (центра тяжести) кривой l с линейной плотностью μ(x, y, z) находятся по формулам:
 ,
 ,
 ,

где m — масса кривой l

 ,
 ,
 
 ,

где μ(z, y, z) — линейная плотность кривой l, m0 — масса точки с координатами (x0, y0, z0); γ — постоянная тяготения,

 

См. такжеПравить