Криптография на решётках

Криптография на решётках — подход к построению алгоритмов асимметричного шифрования с использованием задач теории решёток, то есть задач оптимизации на дискретных аддитивных подгруппах, заданных на множестве $\mathbb {R} ^{n}$.

Наряду с другими методами постквантовой криптографии, считается перспективным в связи с возможностями квантового компьютера взламывать широко используемые асимметричные системы шифрования, основанные на двух типах задач теории чисел: задачах факторизации целых чисел и задачах дискретного логарифмирования. Сложность взлома алгоритмов, построенных на решётках, крайне велика, самые лучшие алгоритмы могут решить эту задачу с трудом за экспоненциальное время. По состоянию на середину 2010-х годов неизвестно ни одного квантового алгоритма, способного справиться лучше обычного компьютера.

Предпосылки создания

В 1995 году Питер Шор продемонстрировал полиномиальный алгоритм для взлома криптографических систем с открытым ключом при использовании квантового компьютера, тем самым определив период существования данных систем до возникновения квантовых вычислителей достаточной размерности.

В 1996 году Лов Гровер продемонстрировал общий метод поиска в базе данных позволяющий производить расшифровку симметричных алгоритмов шифрования, эквивалентную двукратному уменьшению ключа шифра.

В 2001 году группа специалистов IBM продемонстрировала выполнение алгоритма факторизации Шора для числа 15. Число было разложено на множители 3 и 5 при помощи квантового компьютера с 7 кубитами, построенного из 18¹⁰ молекул, состоящих из пяти атомов фтора и двух атомов углерода, с записью информации посредством радиосигналов и считыванием методами ядерного магнитного резонанса.

Начиная со второй половины 1990-х годов возникла необходимость поиска криптостойких к квантовым компьютерам задач для постквантовой эпохи шифрования, в качестве одного из подходов было предложено использовать решётки в $\mathbb {R} ^{n}$ — дискретные подгруппы вещественного векторного пространства, линейные оболочки которых совпадают с ним:

$L=\left\{\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}\mid \lambda _{i}\in \mathbb {Z} \right\}$

Вычислительно сложные задачи

Синей точкой обозначен самый короткий вектор

Задача нахождения кратчайшего вектора (SVP, англ. Shortest Vector Problem) — найти в заданном базисе решётки ненулевой вектор по отношению к определённой нормали.

Задача нахождения (приблизительно) идеального кратчайшего вектора (ISVP, англ. (approximate) ideal shortest vector problem) не считается NP-сложной. Однако, нет известных решёток, основанных на методе редукции, значительно более эффективных на идеальных структурах, чем на общих.

Ещё одна задача — нахождение (приблизительно) кратчайшего независимого вектора (SIVP, англ. (approximate) shortest independent vectors problem), в которой дан базис решётки $B$ и требуется найти $n$ линейно независимых векторов.

Синяя точка — найденный вектор, красная точка — заданный вектор

Задача нахождения ближайшего вектора (CVP, англ. Closest Vector Problem) — нахождение вектора в решётке по заданному базису и некоторому вектору, не принадлежащему решётке, при этом максимально схожего по длине с заданным вектором.

LLL-алгоритм

Основная статья: Алгоритм Ленстры — Ленстры — Ловаса

Пример работы LLL алгоритма. Красным изображён новый базис.

Все эти задачи разрешимы за полиномиальное время с помощью известного LLL-алгоритма изобретённого в 1982 году Арьеном Ленстрой, Хендриком Ленстрой и Ласло Ловасом.

В заданном базисе $\mathbf {B} =\{\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\dots ,\mathbf {b} _{d}\}$, с n-мерными целыми координатами, в решётке $L$ из $\mathbb {R} ^{n}$, где $\ d\leq n$, LLL-алгоритм находит более короткий (примерно^{[уточнить]}) ортогональный базис за время:

$O(d^{5}n\log ^{3}B)$,

где $B$ — это максимальная длина вектора $b_{i}$ в этом пространстве.

Основные криптографические конструкции и их стойкость

Шифрование

GGH — криптосистема основанная на CVP, а именно на односторонней функции с потайным входом опирающуюся на сложность редукции решётки. Была опубликована в 1997 году. Зная базис, можно сгенерировать вектор близкий к заданной точке, но зная это вектор нам необходим исходный базис, чтобы найти исходную точку. Алгоритм был проверен в 1999 году.

Реализация GGH

GGH состоит из открытого и секретного ключа.

Секретный ключ — это базис $B$ решётки $L$ и унимодулярная матрица $U$.

Открытый ключ — некоторый базис в решётке $L$ в виде $B'=UB$.

Для некоторого $M$, пространство сообщения состоит из вектора $(\lambda _{1},...,\lambda _{n})$, где $-M<\lambda _{i}<M$.

Шифрование

Задано сообщение $m=(\lambda _{1},...,\lambda _{n})$, искажение $e$, открытый ключ $B'$:

$v=\sum \lambda _{i}b_{i}'$

В матричном виде:

$v=m\cdot B'$.

$m$ состоит из целых значений, $b'$ точка решётки, и v также точка решётки. Тогда шифротекст:

$c=v+e=m\cdot B'+e$

Расшифрование

Для расшифрования необходимо вычислить:

$c\cdot B^{-1}=(m\cdot B^{\prime }+e)B^{-1}=m\cdot U\cdot B\cdot B^{-1}+e\cdot B^{-1}=m\cdot U+e\cdot B^{-1}$

Часть $e\cdot B^{-1}$ убирается, из соображений приближения. Сообщение:

$m=m\cdot U\cdot U^{-1}$

Пример

Выберем решётку $L\subset \mathbb {R} ^{2}$ с базисом $B$:

$B={\begin{pmatrix}7&0\\0&3\\\end{pmatrix}}$ и $B^{-1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{7}}&0\\0&{\frac {1}{3}}\\\end{pmatrix}}$

где

$U={\begin{pmatrix}2&3\\3&5\\\end{pmatrix}}$ и

$U^{-1}={\begin{pmatrix}5&-3\\-3&2\\\end{pmatrix}}$

В результате:

$B'=UB={\begin{pmatrix}14&9\\21&15\\\end{pmatrix}}$

Пусть сообщение $m=(3,-7)$ и вектор ошибки $e=(1,-1)$. Тогда шифротекст:

$c=mB'+e=(-104,-79)$.

Для расшифровки необходимо вычислить:

$cB^{-1}=\left({\frac {-104}{7}},{\frac {-79}{3}}\right)$.

Округление даёт $(-15,-26)$ , восстановим сообщение:

$m=(-15,-26)U^{-1}=(3,-7)$.

NTRUEncrypt — криптосистема основанная на SVP, является альтернативой RSA и ECC. В вычислении используется кольцо многочленов.

Подпись

Схема подписи GGH впервые предложена 1995 году и опубликована в 1997 году Голдрихом, основана на сложности нахождения ближайшего вектора. Идея заключалась в использовании решёток, для которых «плохой» базис, векторы длинные и почти параллельные, является открытым и «хороший» базис с короткими и почти ортогональными векторами, является закрытым. По их методу, сообщение необходимо хешировать в пространство, натянутое на решётку, а подпись для данного хэша в этом пространстве является ближайшим узлом решётки. Схема не имела формального доказательства безопасности, и её базовый вариант был взломан в 1999 году Нгуэном (Nguyen). В 2006 году модифицированная версия была снова взломана Нгуэном и Реджевом (Regev).

NTRUSign — специальная, более эффективная версия подписи GGH, отличающаяся меньшим ключом и размером подписи. Она использует только решётки подмножества множества всех решёток, связанных с некоторыми полиномиальными кольцами. NTRUSign была предложена на рассмотрение в качестве стандарта IEEE P1363.1.