Критерий Дарбина — Уотсона

Критерий Дарбина—Уотсона (или DW-критерий) — статистический критерий, используемый для тестирования автокорреляции первого порядка элементов исследуемой последовательности. Наиболее часто применяется при анализе временных рядов и остатков регрессионных моделей.

Статистика Дарбина—Уотсона

Критерий назван в честь Джеймса Дарбина и Джеффри Уотсона. Критерий Дарбина—Уотсона рассчитывается по следующей формуле:

${\begin{aligned}&DW={\frac {\sum \limits _{t=2}^{T}(e_{t}-e_{t-1})^{2}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}={\frac {\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}^{2}+\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t-1}^{2}-2\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}e_{t-1}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}=\\&={\frac {\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}^{2}+\sum \limits _{t=1}^{T-1}e_{t}^{2}-2\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}e_{t-1}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}={\frac {e_{1}^{2}+e_{T}^{2}+2\sum \limits _{t=2}^{T-1}e_{t}^{2}-2\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}e_{t-1}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}\approx \\&\approx 2-2{\frac {\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}e_{t-1}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}=2(1-\rho _{1}),\end{aligned}}$

где $\rho _{1}$ — коэффициент автокорреляции первого порядка.

Подразумевается, что в модели регрессии ${\vec {Y}}={\boldsymbol {X}}{\vec {\beta }}+{\vec {\varepsilon }}$ ошибки специфицированы как $\varepsilon _{t}=\rho \varepsilon _{t-1}+v_{t}$, где $v_{t}$ распределено, как белый шум. $\mathbb {E} (\varepsilon _{t})=0$, $\mathop {\mathrm {Var} } (\varepsilon _{t})={\frac {\sigma _{v}^{2}}{1-\rho ^{2}}}$, а $\mathop {\mathrm {Corr} } (\varepsilon _{t},\varepsilon _{t-1})=\rho$, где $|\rho |<1$.

В случае отсутствия автокорреляции $DW=2$; при положительной автокорреляции $DW$ стремится к нулю а при отрицательной — к 4:

${\begin{cases}\rho _{1}=0\Rightarrow DW=2;\\\rho _{1}=1\Rightarrow DW=0;\\\rho _{1}=-1\Rightarrow DW=4.\end{cases}}$

На практике применение критерия Дарбина—Уотсона основано на сравнении величины $DW$ с теоретическими значениями $d_{L}$ и $d_{U}$ для заданного числа наблюдений $n$, числа независимых переменных модели $k$ и уровня значимости $\alpha$.

1. Если $DW<d_{L}$, то гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно, присутствует положительная автокорреляция);
2. Если $DW>d_{U}$, то гипотеза не отвергается;
3. Если $d_{L}<DW<d_{U}$, то нет достаточных оснований для принятия решений.

Когда расчётное значение $DW$ превышает 2, то с $d_{L}$ и $d_{U}$ сравнивается не сам коэффициент $DW$, а выражение $(4-DW)$.

Также с помощью данного критерия выявляют наличие коинтеграции между двумя временными рядами. В этом случае проверяют гипотезу о том, что фактическое значение критерия равно нулю. С помощью метода Монте-Карло были получены критические значения для заданных уровней значимости. В случае, если фактическое значение критерия Дарбина—Уотсона превышает критическое, то нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции отвергают.

Недостатки

1. Неприменим к моделям авторегрессии, а также к моделям с гетероскедастичностью условной дисперсии и GARCH-моделям.
2. Не способен выявлять автокорреляцию второго и более высоких порядков.
3. Даёт достоверные результаты только для больших выборок.
4. Не подходит для моделей без свободного члена (для них статистика, аналогичная $DW$, была рассчитана Farebrother).
5. Дисперсия коэффициентов будет расти, если $v$ имеет распределение, отличающееся от нормального.

h-критерий Дарбина

Критерий Дарбина—Уотсона неприменим для моделей авторегрессии, так как он для подобного рода моделей может принимать значение, близкое к двум, даже при наличии автокорелляции в остатках. Для этих целей используется $h$-критерий Дарбина.

$h$-статистика Дарбина применима тогда, когда среди объясняющих регрессоров есть $Y_{t-1}$. На первом шаге методом МНК строится регрессия. Затем критерий $h$ Дарбина применяется для выявления автокорреляции остатков в модели с распределёнными лагами:

$h=\left(1-{\frac {1}{2}}DW\right){\sqrt {\frac {n}{1-n\cdot \mathop {\mathrm {Var} } ({\hat {\gamma }})}}},$

где

• $n$ — число наблюдений в модели;
• $\mathop {\mathrm {Var} } ({\hat {\gamma }})$ — оценка дисперсии коэффициента при лаговой результативной переменной $Y_{t-1}$.

При увеличении объёма выборки распределение $h$-статистики стремится к нормальному с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 1. Поэтому гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков отвергается, если фактическое значение $h$-статистики оказывается больше, чем критическое значение нормального распределения.

Ограничение данной статистики следует из её формулировки: в формуле присутствует квадратный корень, следовательно, если дисперсия коэффициента при $Y_{t-1}$ велика, то процедура невыполнима.

Критерий Дарбина — Уотсона для панельных данных

Для панельных данных используется немного видоизменённый критерий Дарбина—Уотсона:

$dw_{p}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{N}\sum \limits _{t=2}^{T}(e_{i,\;t}-e_{i,\;t-1})^{2}}{\sum \limits _{i=1}^{N}\sum \limits _{t=1}^{T}e_{i,\;t}^{2}}}.$

В отличие от критерия Дарбина—Уотсона для временных рядов, в этом случае область неопределенности является очень узкой, в особенности для панелей с большим количеством индивидуумов.

См. также

• Тест Бройша—Годфри
• Q-тест Льюнга — Бокса
• Метод Кохрейна — Оркатта
• Метод рядов

Литература

• Anatolyev S. Durbin–Watson statistic and random individual effects // Econometric Theory (Problems and Solutions). — 2002-2003.

Ссылки

Значения критерия Дарбина — Уотсона