Критерий Конвея — набор условий, при выполнении которых протоплитка[en] замощает плоскость. Назван по имени английского математика Джона Хортона Конвея[1]. Выполнение критерия Конвея является достаточным, но не обязателеным условием для замощения плоскости.

Голигон (многоугольник, длины сторон которого - последовательные натуральные числа), удовлетворяющий критерию Конвея; четыре центра симметрии выделены чёрными точками
Шестиугольный паркет из центрально симметричных шестиугольников
Две плитки нонамино, не удовлетворяющие критерию Конвея, но замощающие плоскость

Согласно критерию, плитка должна быть замкнутым топологическим диском[en] с шестью последовательными точками A, B, C, D, E и F на границе и должны выполняться следующие условия:

  • часть границы от A до B совместима параллельным переносом с частью от E до D;
  • каждая из частей границы BC, CD, EF и FA центрально симметрична, то есть, каждая из них совпадает с собой при вращении на 180° относительно средней точки;
  • некоторые из шести точек могут совпадать, но, по меньшей мере, три из них должны быть различными[2].

Любая протоплитка, удовлетворяющая критериям Конвея, допускает периодическое замощение плоскости, при этом используется только параллельный перенос и вращение на 180°. Критерий Конвея является достаточным условием для доказательства, что протоплитка замощает плоскость, но не является необходимым условием — существуют плитки, не удовлетворяющие критерию, но замощающие плоскость[3].

Примеры править

Простейшая формулировка критерия утверждает, что любой шестиугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны по длине, замощает плоскость с использованием только параллельного переноса. Такие фигуры называются параллелогонами[4]. Если же некоторые точки совпадают, критерий может быть применён к другим многоугольникам и даже к фигурам с кривой в качестве периметра[5].

Критерий Конвея способен различить много фигур, в частности полиформы — за исключением двух нонамино справа, все замощающие плоскость полимино вплоть до нонамино могут образовать по меньшей мере одну плитку, удовлетворяющую критерию Конвея[3]. Две плитки нонамино показывают, что критерий Конвея достаточен, но не обязателен для замощения плоскости.

Примечания править

  1. Schattschneider, 1980, с. 224-233.
  2. Периодическая мозаика: общие многоугольники. Дата обращения: 17 января 2017. Архивировано 20 мая 2014 года.
  3. 1 2 Rhoads, 2005, с. 329–353.
  4. Martin, 1991, с. 152.
  5. Пять типов плиток для критерия Конвея Архивировано 6 июля 2012 года., PDF

Литература править

  • Doris Schattschneider. Will It Tile? Try the Conway Criterion! // Mathematics Magazine. — 1980. — Т. 53.
  • Glenn C. Rhoads,. Planar tilings by polyominoes, polyhexes, and polyiamonds // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2005. — Т. 174, вып. 2, 15 (Feb 15).
  • George Martin. Polyominoes: A Guide to Puzzles and Problems in Tiling. — Washington, DC: Mathematical Association of America, 1991. — (Spectrum). — ISBN 0883855011.

Ссылки править