Критерий Сильвестра

Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу

Тогда эта форма положительно определена тогда и только тогда, когда все её угловые миноры размеров i × i, где i пробегает все целые числа от 1 до n включительно, положительны; а отрицательно определена тогда и только тогда, когда знаки чередуются, причём [1]. Здесь угловыми минорами матрицы называются определители вида

ДоказательствоПравить

Критерий положительной определённости квадратичной формыПравить

Критерий гласит, что

для положительной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы угловые миноры её матрицы были положительны.

Его доказательство основано на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Доказательство необходимостиПравить

Пусть   — положительно определённая квадратичная форма. Тогда j-й диагональный элемент положителен, так как  , где   — вектор со всеми нулевыми координатами, кроме j-й. При приведении матрицы к каноническому виду в силу невырожденности угловых миноров стро́ки не нужно будет переставлять, поэтому в итоге знаки главных миноров матрицы не изменятся. А в каноническом виде диагональные элементы положительны, а значит и миноры положительны; следовательно, (так как их знак не менялся при преобразованиях) у положительно определённой квадратичной формы в любом базисе главные миноры матрицы положительны.

Доказательство достаточностиПравить

Дана симметричная квадратичная форма, все угловые миноры которой положительны. Рассмотрим сначала первый диагональный элемент в каноническом виде: его знак определяется первым угловым минором. Далее, знак числа   определяет знак (i + 1)-го элемента в диагональном виде. Получается, что в каноническом виде все элементы на диагонали положительные, то есть квадратичная форма определена положительно.[2]

Критерий отрицательной определённости квадратичной формыПравить

Для отрицательной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы угловые миноры чётного порядка её матрицы были положительны, а нечётного порядка — отрицательны.

Доказательство сводится к предыдущему случаю, так как матрица   является отрицательно определённой тогда и только тогда, когда матрица   является положительно определённой. При замене матрицы   на противоположную главные миноры нечётного порядка меняют знак, а главные миноры чётного порядка остаются такими же в силу основных свойств определителей.

Критерий полуопределённости квадратичной формыПравить

Для положительно полуопределённых матриц критерий звучит подобным образом: форма положительно полуопределена тогда и только тогда, когда все главные миноры неотрицательны. Здесь главным минором называется определитель подматрицы, симметричной относительно главной диагонали, то есть подматрицы, у которой множества задающих её номеров столбцов и строк одинаковые (напр. 1-й и 3-й столбцы и строки, на пересечении которых расположена матрица)[3].

Неотрицательности только угловых миноров недостаточно, что следует из контрпримера  :  , но форма не является положительно полуопределённой.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.
  2. Д. В. Беклемишев, Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
  3. Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия: теоремы и задачи. T. 2,2. — Москва: Зерцало, 2003. — С. 155. — 251 с. — ISBN 5-94373-077-X.