Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова

Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова — один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по амплитудно-фазовой частотной характеристике её разомкнутого состояния. Является одним из частотных критериев устойчивости. С помощью этого критерия оценить устойчивость весьма просто, без необходимости вычисления полюсов передаточной функции замкнутой системы.

Условие устойчивостиПравить

Передаточная функция динамической системы   может быть представлена в виде дроби

 .

Устойчивость   достигается тогда, когда все её полюсы находятся в левой полуплоскости  . В правой полуплоскости их быть не должно. Если   получена замыканием отрицательной обратной связью разомкнутой системы с передаточной функцией  , тогда полюсы передаточной функции замкнутой системы являются нулями функции  . Выражение   называется характеристическим уравнением системы.

Принцип аргумента КошиПравить

Из теории функций комплексного переменного известно, что контур  , охватывающий на  -плоскости некоторое число неаналитических точек, может быть отображён на другую комплексную плоскость (плоскость  ) при помощи функции   таким образом, что получившийся контур   будет охватывать центр  -плоскости   раз, причём  , где   — число нулей, а   — число полюсов функции  . Положительным считается направление, совпадающее с направлением контура  , а отрицательным — противоположное ему.

Формулировка критерияПравить

Сначала построим контур, охватывающий правую полуплоскость комплексной плоскости. Контур состоит из следующих участков:

  • участок, идущий вверх по оси  , от   до  .
  • полуокружность радиусом  , начинающаяся в точке   и достигающая конца в точке   по часовой стрелке.

Далее отображаем этот контур посредством передаточной функции разомкнутой системы  , в результате чего получаем плоскость АФЧХ системы. Согласно принципу аргумента число оборотов по часовой стрелке вокруг начала координат должно быть равно количеству нулей функции   минус количество полюсов   в правой полуплоскости. Если рассматривать вместо начала координат точку  , получим разницу между числом нулей и полюсов в правой полуплоскости для функции  . Заметив, что функция   имеет такие же полюса, что и функция  , а полюса разомкнутой системы являются нулями замкнутой системы, сформулируем критерий Найквиста — Михайлова:

Пусть   — замкнутый контур в комплексной плоскости,   — число полюсов  , охваченных контуром  , а   — число нулей  , охваченных   — то есть число полюсов  , охваченных  . Получившийся контур в  -плоскости,   должен для обеспечения устойчивости замкнутой системы охватывать (по часовой стрелке) точку     раз, где  .

В русскоязычной литературе, в основном, изданной в СССР, встречается иная формулировка критерия, называемого в этом случае критерием Михайлова:

Система порядка   устойчива, если ее частотный годограф, начинаясь на положительной вещественной полуоси комплексной плоскости, последовательно проходит   координатных квадрантов, нигде не обращаясь в 0.

Следствия критерия Найквиста-Михайлова:

  • Если разомкнутая система с передаточной функцией   устойчива, замкнутая система является устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку (−1; j0).
  • Если разомкнутая система неустойчива, то количество оборотов   вокруг точки −1 должно быть равно числу полюсов   в правой полуплоскости.
  • Количество дополнительных охватов (больше, чем  ) вокруг точки −1 в точности равно количеству неустойчивых полюсов замкнутой системы.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Михайлов А. В. О новом подходе исследования замкнутых регулируемых систем // Автоматика и телемеханика. — 1973. — № 8.
  • Nyquist, H. 1932. Regeneration theory. Bell System Technical Journal, 11, pp. 126-147.
  • Чернецкий В. И. Математическое моделирование динамических систем. — Петрозаводск: Петрозаводский гос. ун-т, 1996. — 432 с. — ISBN 5-230-08981-4.