Открыть главное меню

Кубический сплайн

Кубический сплайн — гладкая функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых она совпадает с некоторым кубическим многочленом (полиномом).

ОписаниеПравить

Функция  задана на отрезке  , разбитом на части  ,  . Кубическим сплайном дефекта 1 (разность между степенью и гладкостью сплайна) называется функция  , которая:

  • на каждом отрезке   является многочленом степени не выше третьей;
  • имеет непрерывные первую и вторую производные на всём отрезке  ;
  • в точках   выполняется равенство  , т. е. сплайн   интерполирует функцию  в точках  .

Для однозначного задания сплайна перечисленных условий недостаточно, для построения сплайна необходимо наложить дополнительные требования — граничные условия:

  1. "Естественный сплайн" — граничные условия вида:  ;
  2. Непрерывность второй производной — граничные условия вида:  ;
  3. Периодический сплайн — граничные условия вида:  и  .

Теорема: Для любой функции   и любого разбиения отрезка  на части  существует ровно один естественный сплайн  , удовлетворяющий перечисленным выше условиям.

Эта теорема является следствием более общей теоремы Шёнберга-Уитни об условиях существования интерполяционного сплайна.

ПостроениеПравить

На каждом отрезке   функция   есть полином третьей степени  , коэффициенты которого надо определить. Запишем для удобства   в виде:

 

тогда

 

Условия непрерывности всех производных до второго порядка включительно записываются в виде

 
 
 

а условия интерполяции в виде

 

Обозначим 

Отсюда получаем формулы для вычисления коэффициентов "Естественного сплайна":

 ;
 ;
 ;
 ,
причем   и  .

Если учесть, что  , то вычисление   можно провести с помощью метода прогонки для трёхдиагональной матрицы.

ЛитератураПравить

  1. de Boor, Carl. A Practical Guide to Splines. — New York: Springer-Verlag, 1978.
  2. Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М.: Мир, 2001. — ISBN 5-03-002143-4.
  3. Костомаров Д. П., Фаворский А. П. Вводные лекции по численным методам.
  4. Волков Е. А. Глава 1. Приближение функций многочленами. § 11. Сплайны // Численные методы. — Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., испр.. — М.: Наука, 1987. — С. 63-68. — 248 с.

СсылкиПравить

ПримечанияПравить