Купол (геометрия)

Пятиугольный купол (пример)
Пятиугольный купол
Тип Множество куполов
Символ Шлефли {n} || t{n}
Граней n треугольников,
n квадратов,
1 n-угольник,
1 2n-угольник
Рёбер 5n
Вершин 3n
Группа симметрии Cnv, [1,n], (*nn), порядок 2n
Группа вращений Cn, [1,n]+, (nn), порядок n
Двойственный многогранник ?
Свойства выпуклый

Купол — тело, образованное соединением двух многоугольников, в котором один (основание) имеет вдвое больше сторон по сравнению с другим (верхняя грань). Соединение многоугольников осуществляется равнобедренными треугольниками и прямоугольниками. Если треугольники правильные, а прямоугольники являются квадратами, в то время как основание и вершина являются правильными многоугольниками, купол является многогранником Джонсона. Эти куполы, трёхскатный, четырёхскатный и пятискатный, можно получить, взяв сечения кубооктаэдра, ромбокубооктаэдра и ромбоикосододекаэдра соответственно.

Купол можно рассматривать как призму, где один из многоугольников наполовину стянут путём объединения вершин попарно.

Куполу можно приписать расширенный символ Шлефли {n} || t{n}, представляющий правильный многоугольник {n}, соединённый с параллельной ему усечённой копией, t{n} или {2n}.

Куполы являются подклассом призматоидов.

ПримерыПравить

Семейство выпуклых куполов
n 2 3 4 5 6
Название {2} || t{2} {3} || t{3} {4} || t{4} {5} || t{5} {6} || t{6}
Купол  
Диагональный купол
 
Трёхскатный купол
 
Четырёхскатный купол
 
Пятискатный купол
 
Шестискатный купол
(плоский)
Связанные
однородные
многогранники
Треугольная призма
     
Кубооктаэдр
     
Ромбокубо-
октаэдр

     
Ромбоикосо-
додекаэдр

     
Ромботри-
шестиугольная
мозаика
[en]
     

Упомянутые выше три многогранника являются нетривиальными выпуклыми куполами с правильными гранями. «Шестиугольный купол» является плоской фигурой, а треугольную призму может считать «куполом» степени 2 (купол отрезка и квадрата). Однако куполы с большим числом сторон многоугольников могут быть построены только с неправильными треугольными и прямоугольными гранями.

Координаты вершинПравить

Определение купола не требует правильности основания и верхней грани, но удобно рассматривать случаи, в которых куполы имеют максимальную симметрию, Cnv. В этом случае верхняя грань является правильным n-угольником, в то время как основание является правильным 2n-угольником, либо 2n-угольником с двумя различными длинами сторон (через одну) и теми же углами, что и у правильного 2n- угольника. Удобно расположить купол в координатной системе так, чтобы его основание лежало в плоскости xy с верхней гранью, параллельной этой плоскости. Ось z является осью симметрии порядка n, зеркальные плоскости проходят через эту ось и делят стороны основания пополам. Они также делят пополам стороны или углы верхней грани, или и то, и другое. (Если n чётно, половина зеркал делит пополам стороны, половина — углы. Если же n нечётно, каждое зеркало делит пополам одну сторону и один угол верхней грани.) Пронумеруем вершины основания числами от V1 до V2n, а вершины верхней грани — числами от V2n+1 до V3n. Координаты вершин тогда можно записать следующим образом:

  • V2j−1: (rb cos[2π(j − 1) / n + α], rb sin[2π(j − 1) / n + α], 0)
  • V2j: (rb cos(2πj / n − α), rb sin(2πj / n − α), 0)
  • V2n+j: (rt cos(πj / n), rt sin(πj / n), h),

где j = 1, 2, …, n.

Поскольку многоугольники V1V2V2n+2V2n+1, и т. д. являются прямоугольниками, на значения rb, rt и α накладываются ограничения. Расстояние V1V2 равно

rb{[cos(2π / n − α) − cos α]2 + [sin(2π / n − α) − sin α]2}12
= rb{[cos2(2π / n − α) − 2cos(2π / n − α)cos α + cos2 α] + [sin2(2π / n − α) − 2sin(2π / n − α)sin α + sin2 α]}12
= rb{2[1 − cos(2π / n − α)cos α − sin(2π / n − α)sin α]}12
= rb{2[1 − cos(2π / n − 2α)]}12

а расстояние V2n+1V2n+2 равно

rt{[cos(π / n) − 1]2 + sin2(π / n)}12
= rt{[cos2(π / n) − 2cos(π / n) + 1] + sin2(π / n)}12
= rt{2[1 − cos(π / n)]}12.

Они должны быть равны, так что, если это общее ребро имеет длину s,

rb = s / {2[1 − cos(2π / n − 2α)]}12
rt = s / {2[1 − cos(π / n)]}12

И эти значения следует подставить в вышеприведённые формулы для вершин.

Звёздчатые куполыПравить

Семейство звёздчатых куполов
n / d 4 5 7 8
3  
{4/3}
 
{5/3}
 
{7/3}
 
{8/3}
5  
{7/5}
 
{8/5}
Семейство звёздчатых куполоидов
n / d 3 5 7
2  
Скрещенный треугольный куполоид
 
Пентаграммный куполоид
 
Гептаграммный куполоид
4  
Скрещенный пентаграммный куполоид
 
Скрещенный гептаграммный куполоид

Звёздчатые куполы существуют для всех оснований {n/d}, где 6/5 < n/d < 6 и d нечётно. На границах куполы превращаются в плоские фигуры. Если d чётно, нижнее основание {2n/d} становится вырожденным — мы можем образовать куполоид или полукупол путём удаления этой вырожденной грани и позволив треугольникам и квадратам соединяться друг с другом. В частности, тетрагемигексаэдр можно рассматривать как {3/2}-куполоид. Все куполы ориентированны[en], в то время как все куполоиды неориентированны. Если n/d > 2 для куполоида, треугольники и квадраты не покрывают всё основание и маленькая мембрана остаётся на основании, которая просто закрывает дыру. Таким образом, куполоиды {5/2} и {7/2} на рисунке выше имеют мембраны (не заполнены), в то время как куполоиды {5/4} и {7/4} их не имеют.

Высота h купола {n/d} или куполоида задаётся формулой  . В частности, h = 0 на границах n/d = 6 и n/d = 6/5, и h максимально при n/d = 2 (треугольная призма, где треугольники расположены вертикально)[1][2].

На рисунках выше звёздчатые куполы показаны в цветах, чтобы подчеркнуть их грани — грань n/d-угольника показана красным, грань 2n/d-угольника показана жёлтым, квадраты представлены синим цветом, а треугольники — зелёным. Куполоиды имеют красные n/d-угольные грани, жёлтые квадратные грани, а треугольные грани выкрашены в голубой цвет, второе же основание удалено.

ГиперкуполыПравить

Гиперкуполы или многогранные куполы — это семейство выпуклых неоднородных четырёхмерных многогранников, аналогичных куполам. Основаниями каждого такого многогранника являются правильный многогранник (трёхмерный) и его растяжение[3].

В таблице используется понятие Сегментогранник (англ. Segmentochora) — это фигура, удовлетворяющая следующим свойствам:

1. все вершины находятся на одной гиперсфере
2. все вершины находятся на двух параллельных гиперплоскостях
3. все рёбра имеют длину 1

В плоскости существует два сегментогранника (сегментоугольника) — правильный треугольник и квадрат.

В 3-мерном пространстве они включают пирамиды, призмы, антипризмы, купола.

Название Тетраэдральный купол[en] Кубический купол[en] Октаэдральный купол[en] Декаэдральный купол[en] Шестиугольный мозаичный купол[en]
Символ Шлефли {3,3} ∨ rr{3,3} {4,3} ∨ rr{4,3} {3,4} ∨ rr{3,4} {5,3} ∨ rr{5,3} {6,3} ∨ rr{6,3}
Индекс
сегментогранника[3]
K4.23 K4.71 K4.107 K4.152
Радиус
описанной
окружности
1 sqrt((3+sqrt(2))/2)
= 1.485634
sqrt(2+sqrt(2))
= 1.847759
3+sqrt(5)
= 5.236068
Рисунок        
Главные ячейки               
Вершин 16 32 30 80
Рёбер 42 84 84 210
Граней 42 24 {3} + 18 {4} 80 32 {3} + 48 {4} 82 40 {3} + 42 {4} 194 80 {3} + 90 {4} + 24 {5}
Ячеек 16 1 тетраэдр
4 треугольные призмы
6 треугольных призм
4 треугольные призмы
1 кубооктаэдр
28  1 куб
 6 квадратных призм
12 треугольных призм
 8 треугольных пирамид
 1 ромбокубооктаэдр
28  1 октаэдр
 8 треугольных призм
12 треугольных призм
 6 квадратных пирамид
ромбокубооктаэдр
64  1 додекаэдр
12 пятиугольных призм
30 треугольных призм
20 треугольных пирамид
 1 ромбоикосододекаэдр
1 шестиугольная мозаика
∞ шестиугольных призм
∞ треугольных призм
∞ треугольных пирамид
1 ромботришестиугольная мозаика
Связанные
однородные
4-мерные
многогранники
Рансинированный 5-ячейник[en]
       
Рансинированный тессеракт[en]
       
Рансинированный 24-ячейник[en]
       
Рансинированный 120-ячейник[en]
       
Рансинированные шестиугольные мозаичные соты[en]
       

ПримечанияПравить

  1. cupolas
  2. semicupolas
  3. 1 2 Klitzing, 2000, pp. 139—181.

ЛитератураПравить

  • N.W. Johnson. Convex Polyhedra with Regular Faces // Canad. J. Math. — 1966.. — Вып. 18. — С. 169–200.
  • Dr. Richard Klitzing. Convex Segmentochora. — Symmetry: Culture and Science. — 2000. — Т. 11. — С. 139-181.

СсылкиПравить