Лемма Адамара

Лемма Адамара (англ. Hadamard's lemma, фр. Lemme de Hadamard) — утверждение, описывающее строение гладкой вещественной функции. Названа в честь французского математика Жака Адамара[1].

Пусть  — функция класса , где , определённая в выпуклой окрестности точки . Тогда существуют такие функции класса , определённые в , что для всех имеет место равенство[1]

Если функция  — аналитическая, то и функции в приведенной выше формуле аналитические.

Обобщенная формулировкаПравить

Лемма Адамара может быть сформулирована в более общей форме, когда часть переменных играет роль параметров:

Пусть   — функция класса  , где  , определённая в выпуклой окрестности   точки  , при этом   и  . Тогда существуют такие функции   класса  , определённые в  , что для всех   имеет место равенство

 

Доказательство.

Рассмотрим вспомогательную функцию  , где   — дополнительная вещественная переменная (параметр). Пусть   пробегает значения из отрезка  , тогда функция  , рассматриваемая как функция   при каждом фиксированном значении параметра  , пробегает в пространстве функций от   переменных некоторую кривую с концами   и  .

Рассматривая   как функцию переменной  , зависящую от параметров   и  , и применяя формулу Ньютона — Лейбница, можно записать:

 

где

 

Требуемая гладкость функций   следует из известной теоремы о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра, которая доказывается в курсе математического анализа.

ПримененияПравить

Лемма Адамара позволяет получить ряд полезных следствий, находящих применения в разных разделах математики, в первую очередь, в теории особенностей.

  • С помощью леммы Адамара легко доказывается Лемма Морса.
  • Другое полезное следствие леммы Адамара (в её обобщённом виде) состоит в том, что если росток гладкой функции   обращается в нуль на гиперплоскости  , то он представим в виде   где   — некоторая гладкая функция.
  • Отсюда вытекает, что для ростка любой гладкой функции   имеет место представление   где   и   — гладкие функции.
  • Применяя индукцию, отсюда нетрудно получить также более общее представление:
 

где   и   — гладкие функции и   — произвольное натуральное число.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Зорич В.А. Математический анализ.

ЛитератураПравить

  • Зорич В.А. Математический анализ.