Лемма Безиковича о покрытиях

(перенаправлено с «Лемма Безиковича»)

Лемма Безиковича о покрытиях — классический результат комбинаторной геометрии важный в теории меры и близкий к лемме Витали.

Доказана Абрамом Безиковичем в 1945 году.

Формулировка править

Для любого натурального   существует такое натуральное  , что верно следующее. Пусть   — произвольное множество замкнутых шаров в   с радиусами не больше 1. Тогда можно выбрать не более чем счётный набор шаров  , такой что центр любого шара из   принадлежит хотя бы одному шару из   и при этом семейство   можно разбить на   подсемейств с попарно непересекающимися шарами в каждом.

Замечания править

 
Восемь попарно пересекающихся кругов не содержащих центры друг друга.
  • Можно предположить, что  .
  • Оптимальная константа не известна даже для плоскости; нижняя оценка 8 (следует из примера на рисунке) и верхняя 19.[1][2]

Применения править

Область применений леммы Безиковича близка к области применений леммы Витали. Но лемма Безиковича применима для произвольных мер, но только для простых метрических пространств, включая евклидово пространство, в то время как Лемма Витали применима на произвольных метрических пространствах для мер   обладающих свойством удвоения. Последнее означает, что для некоторой вещественной константы   и произвольного шара   имеем

 .

Вариации и обобщения править

  • Достаточным условием для выполнения леммы Безиковича в метрическом пространстве является так называемая ограниченность по направлениям. Это свойство ввёл в рассмотрение Герберт Федерер.[3]

Примечания править

  1. *A. Malnic and B. Mohar. Two results on an antisocial families of balls // Proc. of the Fourth Czechoslovakian Sympos. on Combinatorics, Graphs and Complexity (Prachatice, 1990). — С. 205-207.
  2. *E. F. Reifenberg. A problem on circles // Math. Gaz.. — 1948. — Т. 32. — С. 290-292.
  3. смотри 2.8.9 в книге Федерер Г. Геометрическая теория меры. — 1987. — 760 с.

Литература править