Лемма Витали о покрытиях

(перенаправлено с «Лемма Витали»)

Лемма Витали о покрытиях — комбинаторногеометрический результат. Широко используется в теории меры.

Сверху изначальное семейство шаров. Зелёным выделены непересекающиеся шары, синим — все остальные. Ниже та же диаграмма, в которой зелёные шары утроены — заметим, что они покрывают все голубые шары.

Эта лемма используется в доказательстве теоремы Витали о покрытиях, но также представляет самостоятельный интерес. Названа в честь итальянского математика Джузеппе Витали.

Формулировка править

Конечная версия править

Пусть   — конечный набор шаров, содержащихся в d-мерном евклидовом пространстве Rd (или, в более общем случае, в произвольном метрическом пространстве). Тогда существует подмножество   из этих шаров, в котором шары попарно не пересекаются, и выполняется

 

где   обозначает шар с тем же центром, что и у  , но с утроенным радиусом.

Бесконечная версия править

Пусть   — произвольный (счётный или несчётный) набор шаров в Rd (или, более общо, в метрическом пространстве), такой что

 

где   обозначает радиус шара Bj. Тогда для любого   существует счётное подмножество

 

попарно непересекающихся шаров, таких что

 

Замечания править

  • В бесконечной версии лемма перестаёт быть верной, если радиусы не ограничены: например, это неверно для бесконечного набора концентрических шаров с целыми положительными радиусами.
  • В самом общем случае, для произвольного метрического пространства, выбор максимальной непересекающейся подколлекции шаров требует некоторой формы леммы Цорна.

Следствия править

  • В любом конечном наборе шаров  -мерного евклидова пространства с объёмом объединения  , можно выбрать поднабор пересекающихся между собой шаров с общим объёмом не менее  .
    • Коэффициент   не является оптимальным и оптимальное значение не известно.[1]

Вариации и обобщения править

  • Вместо шаров можно брать другие области с довольно слабыми условиями.[2]
  • Лемма Безиковича — аналог леммы Витали. Она применима для произвольных мер, но только для простых метрических пространств включая евклидово пространство в то время как Лемма Витали применима на произвольных метрических пространствах для мер   обладающих свойством удвоения. Последнее означает, что для некоторой вещественной константы   и произвольного шара   имеем
     

Примечания править

  1. The optimal constant in Vitali covering lemma
  2. Федерер Г. Геометрическая теория меры. — 1987. — 760 с.

Литература править