Лемма Гаусса о геодезических

Лемма Гаусса о геодезических утверждает, что любая достаточно малая сфера с центром в точке риманова многообразия перпендикулярна каждой геодезической через точку.

Лемма используется в доказательстве того, что геодезические являются локально кратчайшими кривыми, также он имеет фундаментальное значение при изучении геодезической выпуклости и нормальных координат.

ФормулировкаПравить

Пусть   обозначает касательное пространство в точке   риманова многообразия   и  экспоненциальное отображение. Заметим что для любого вектора   касательное пространство к касательному пространству   можно отождествить с самим касательным пространством  .

Для любых  

 

где   обозначает дифференциал экспоненциального отображения.