Лемма Гронуолла — Беллмана

В математике лемма Гронуолла, также называемая леммой Гронуолла-Беллмана, позволяет ограничить функцию, удовлетворяющую определенному дифференциальному или интегральному неравенству решением соответствующего дифференциального или интегрального уравнения. Имеется две формулировки леммы — в дифференциальной и в интегральной формах. Лемма Гронуолла является важным инструментом при получении различных оценок в теории обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений. В частности, она используется при доказательстве единственности решения задачи Коши.

Формулировка

Пусть

• $u(t)\geq 0\$
• $f(t)\geq 0\$
• $u(t),f(t)\in C[t_{0},\infty ),$

при этом для $t\geq t_{0}$ выполняется неравенство:

$u(t)\leq c+\int _{t_{0}}^{t}\,f(t_{1})\,u(t_{1})\,dt_{1},\qquad (1)$

где $c$ — положительная константа.

Тогда при $t\geq t_{0}$ имеем оценку:

$u(t)\leq \,c\cdot \exp \int _{t_{0}}^{t}\,f(t_{1})\,dt_{1}.\qquad (2)$

Доказательство

Из неравенства (1) получим:

${\frac {u(t)}{c\ +\ \int _{t_{0}}^{t}\,f(t_{1})\,u(t_{1})\,dt_{1}}}\,\leq 1$

и

${\frac {f(t)u(t)}{c\,+\,\int _{t_{0}}^{t}\,f(t_{1})\,u(t_{1})\,dt_{1}}}\,\leq \,f(t),\qquad (3)$

А так как

${\frac {d}{dt}}{\bigg [}c\,+\,\int _{t_{0}}^{t}f(t_{1})\,u(t_{1})\,dt_{1}{\bigg ]}=f(t)u(t),$

то, проинтегрировав неравенство (3) в пределах от $t_{0}$ до $t$, получим:

$\ln {\bigg [}c\,+\,\int _{t_{0}}^{t}\,f(t_{1})\,u(t_{1})\,dt_{1}{\bigg ]}\,-\,\ln c\,\leq \,\int _{t_{0}}^{t}\,f(t_{1})\,dt_{1}.$

Отсюда, используя неравенство (1), получаем:

$u(t)\,\leq \,c\,+\,\int _{t_{0}}^{t}\,f(t_{1})\,u(t_{1})\,dt_{1}\,\leq \,c\,\exp \int _{t_{0}}^{t}\,f(t_{1})\,dt_{1},$

что и требовалось доказать.

Усиленная лемма Гронуолла

Пусть функция $u(x)$ неотрицательна и непрерывна в промежутке $\left[x_{0},x_{0}+h\right]$ и удовлетворяет там неравенству: $0\leqslant u(x)\leqslant A+B\int _{x_{0}}^{x}u(t)dt+\varepsilon (x-x_{0}),A\geqslant 0,B\geqslant 0,\varepsilon \geqslant 0$. Тогда при $x\in \left[x_{0},x_{0}+h\right]$ справедливо неравенство: $u(x)\leqslant Ae^{B(x-x_{0})}+{\frac {\varepsilon }{B}}(e^{B(x-x_{0})}-1)$.

Ссылки

• PlanetMath
• Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967.