Лемма Йонеды

Лемма Йонеды — результат о функторе Hom; теоретико-категорное обобщение классической теорико-групповой теоремы Кэли (если рассматривать группу как категорию из одного объекта). Лемма позволяет рассмотреть вложение произвольной категории в категорию функторов из неё в категорию множеств. Является важным инструментом, позволившим получить множество результатов в алгебраической геометрии и теории представлений.

Общий случай

В произвольной (локально малой) категории для данного объекта $A$ можно рассмотреть ковариантный функтор Hom, обозначаемый:

$h^{A}=\mathrm {Hom} (A,-)$.

Лемма Йонеды утверждает, что для любого объекта $A$ категории ${\mathcal {C}}$, естественные преобразования из $h^{A}$ в произвольный функтор $F$ из категории ${\mathcal {C}}$ в категорию множеств $\mathbf {Set}$ находятся во взаимно-однозначном соответствии с элементами $F(A)$:

$\mathrm {Nat} (h^{A},F)\cong F(A)$.

Для данного естественного преобразования $\Phi$ из $h^{A}$ в $F$ соответствующий элемент $F(A)$ — это $u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})$, то есть естественное преобразование однозначно определяется образом тождественного морфизма.

Контравариантная версия леммы рассматривает контравариантный функтор:

$h_{A}=\mathrm {Hom} (-,A)$,

отправляющий $X$ во множество $\mathrm {Hom} (X,A)$. Для произвольного контравариантного функтора $G$ из ${\mathcal {C}}$ в $\mathbf {Set}$

$\mathrm {Nat} (h_{A},G)\cong G(A)$.

Используется мнемоническое правило «падать во что-то» при рассмотрении морфизмов в зафиксированный объект.

Доказательство леммы Йонеды представлено на следующей коммутативной диаграмме:

Диаграмма показывает, что естественное преобразование $\Phi$ полностью определяется $\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})=u$, так как для любого морфизма $f\colon A\to X$:

$\Phi _{X}(f)=(Ff)u$.

Более того, эта формула задаёт естественное преобразование для любого $u\in F(A)$ (так как диаграмма коммутативна). Доказательство контравариантного случая аналогично.

Вложение Йонеды

Частный случай леммы Йонеды — когда функтор $F$ также является функтором Hom. В этом случае ковариантная версия леммы Йонеды утверждает, что:

$\mathrm {Nat} (h^{A},h^{B})\cong \mathrm {Hom} (B,A)$.

Отображение каждого объекта $A$ категории ${\mathcal {C}}$ в соответствующий Hom-функтор $h^{A}=Hom(A,-)$ и каждый морфизм $f\colon B\to A$ в соответствующее естественное преобразование $\mathrm {Hom} (f,-)$ задаёт контравариантный функтор $h^{-}$ из ${\mathcal {C}}$ в $\mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}$, либо ковариантный функтор:

$h^{-}\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\to \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}$.

В этой ситуации лемма Йонеды утверждает, что $h^{-}$ — вполне унивалентный функтор, то есть задаёт вложение ${\mathcal {C}}^{op}$ в категорию функторов в $\mathbf {Set}$.

В контравариантном случае по лемме Йонеды:

$\mathrm {Nat} (h_{A},h_{B})\cong \mathrm {Hom} (A,B)$.

Следовательно $h_{-}$ задаёт вполне унивалентный ковариантный функтор (вложение Йонеды):

$h_{-}\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$.

Литература

• Freyd, Peter (1964), Abelian categories (2003 reprint ed.), Harper's Series in Modern Mathematics, Harper and Row, <http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/3/tr3abs.html> .
• Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.