Лемма Нётер о нормализации

Лемма Нётер о нормализации — результат коммутативной алгебры играющий важную роль в основаниях алгебраической геометрии. Доказанa Эмми Нётер в 1926 году.

Эта лемма используется в доказательстве теоремы Гильберта о нулях. Также она является важным инструментом изучения размерности Крулля.

ФормулировкаПравить

Для любого поля k и любой конечно порожденной коммутативной k -алгебры A существует неотрицательное целое число d и алгебраически независимые элементы y 1, y 2, ..., y d в A такие, что A конечно порожденный модуль над кольцом многочленов S = k[ y 1, y 2, ..., y d ].

ЗамечанияПравить

Геометрическая интерпретацияПравить

За S можно взять координатное кольцо d-мерного аффинного пространства  , а за A — координатное кольцо некоторого другого d -мерного аффинного многообразия X. Тогда отображение включения   индуцирует сюръективный конечный морфизм аффинных многообразий  . Вывод состоит в том, что любое аффинное многообразие является разветвленным накрытием аффинного пространства.

Если поле k бесконечно, то такое разветвленное накрытие можно построить, взяв проекцию общего положения из аффинного пространства, содержащего X, на d-мерное подпространство.

ЛитератураПравить