Лемма Ферма

Ле́мма Ферма́ утверждает, что производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю.

ПредысторияПравить

У Ньютона этот факт упоминался как т. н. принцип остановки[1]:

Когда величина есть наибольшая или наименьшая из всех возможных, то она в этот момент не течёт ни вперёд, ни назад.Исаак Ньютон

Выдвинут Николаем Орезмским в его учении о широтах и долготах[2].

ФормулировкаПравить

Пусть функция   имеет во внутренней точке области определения   локальный экстремум. Пусть также существуют односторонние производные   конечные или бесконечные. Тогда

В частности, если функция   имеет в   производную, то

 

ДоказательствоПравить

Предположим, что  . Тогда  .

Поэтому:

 
 

Если производная   определена, то получаем

 ,

то есть  .

Если   — точка локального минимума функции  , то доказательство аналогично.

ЗамечаниеПравить

Производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю. Её касательная в этой точке параллельна оси абсцисс. Обратное, вообще говоря, неверно, то есть из равенства нулю производной в некоторой точке не следует наличие локального экстремума в этой точке.

ПримерыПравить

  • Пусть  . Тогда   — точка локального минимума, и
 ,   (при этом сама функция не является дифференцируемой в точке  ).
  • Пусть  . Тогда   — точка локального минимума, и
 .
  • Пусть  . Тогда
 ,
но точка   не является точкой локального экстремума.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Фихтенгольц Г. М. Глава XIV. Исторический очерк возникновения основных идей математического анализа // Основы математического анализа. — 4-е изд. — СПб.: «Лань», 2002. — Т. 1. — С. 423. — 448 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — 5000 экз. — ISBN 5-9511-0010-0.
  2. Исаак Ньютон. Примечания переводчика // Исаак Ньютон. Математические работы = Isaaci Newtoni, Opuscula mathematica, philosophica et philologica, t. I, Lausannae et Geuevae 1744 / Перевод с латинского, вводная статья и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского.. — М.Л.: ОНТИ, 1937. — С. 318. — 452 с. — (Классики естествознания). Архивированная копия (недоступная ссылка). Дата обращения: 17 января 2011. Архивировано 27 февраля 2011 года.