Лемма о шестой окружности

Лемма о шестой окружности[1] утверждает следующее.

Теорема Микеля о шести окружностях утверждает то, что если пять окружностей имеют четыре тройные точки пересечения, то оставшиеся четыре точки пересечения лежат на шестой окружности

Во вписанном в (первую) окружность четырёхугольнике через четыре пары вершин и , и , и , и провели по одной окружности (еще четыре окружности) так, что точки их попарного пересечения лежат внутри первой окружности. Тогда лежат на одной (шестой) окружности.

Рисунок справа ниже будет соответствовать последней формулировке теоремы, если обозначить .

ЗамечаниеПравить

Сформулированную выше теорему также называют теоремой Микеля о шести окружностях без её привязки к конкретному четырёхугольнику (см. рис. ниже).) Пусть на окружности заданы 4 точки, «А», «B», «C» и «D», и 4 окружности попарно пересекаются в этих точках, а также ещё в 4 других точках W, X, Y и Z. Тогда последние 4 точки лежат на общей окружности. Эта теорема известна, как «теорема о шести окружностях»'[2] (см. рис).

Японская теорема (Japanese theorem)

СледствияПравить

  •  — вписанный четырёхугольник.  — основание перпендикуляра, опущенного из вершины на диагональ ; аналогично определяются точки . Тогда точки лежат на одной окружности. Доказательство вытекает из леммы о шестой окружности.
  •  — вписанный четырёхугольник.  — центр вписанной окружности треугольника BCD; аналогично определяются точки . Тогда  — прямоугольник. Доказательство вытекает из леммы о шестой окружности. Это следствие иногда называют называют японской теоремой (Japanese theorem)(см. рис.).
  • Пусть окружность, вписанная в произвольный треугольник , касается стороны в точке , а вневписанная окружность касается стороны в точке . Тогда точки лежат на одной окружности. Доказательство вытекает из леммы о шестой окружности.
  • В треугольнике  — основания перпендикуляров, опущенных на биссектрису угла из вершин и соответственно;  — высота,  — середина стороны . Тогда точки и лежат на одной окружности. Более того, центр окружности, проходящей через точки , лежит на окружности девяти точек треугольника ABC. Доказательство вытекает из леммы о шестой окружности.

ИсторияПравить

Теорема Микеля для пятиугольника

Эту теорему иногда называют теоремой о четырёх окружностях и приписывают Якобу Штейнеру, хотя единственное известное опубликованное доказательство было дано Микелем[3].

Уэллс ссылается на эту теорему как на «теорему Микеля»[4]

Возможные вариации и обобщенияПравить

Интересно то, что дальнейшее обобщение этой теоремы до Леммы о седьмой окружности невозможно. На это указывает следующий контрпример в виде рисунка справа, взятого из раздела Точка Микеля (см. параграф «Теорема Микеля для пятиугольника (для пятиконечной звезды)»). На это указывает следующее очевидное утверждение:

«Если 5 окружностей (на рисунке они чёрного цвета) имеют 5 точек их попарного пересечения M, N, P, R, Q , лежащих на одной (синей) окружности (всего 6 окружностей), то из этого, в общем случае, вовсе не следует то, что 5 других (не упомянутых выше) точек их попарного пересечения A, B, C, D, E также будут лежать на одной окружности (на 7-ой окружности)).» На рисунке это достаточно очевидно, так как пятиугольник ABCDE явно не вписан в окружность (7-ую по счету).

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Вокруг задачи Архимеда. Лемма 4 Архивная копия от 29 апреля 2016 на Wayback Machine, рис. 10, c. 5
  2. A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012, Ostermann & Wanner 2012, p. 94
  3. A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012, Ostermann & Wanner 2012, p. 352
  4. Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books. pp. 151–152

ЛитератураПравить