Лемма о шестой окружности

Не следует путать с теоремой о шести окружностях.

Лемма о шестой окружности утверждает следующее.

Теорема Микеля о шести окружностях утверждает то, что если пять окружностей имеют четыре тройные точки пересечения, то оставшиеся четыре точки пересечения лежат на шестой окружности

Во вписанном в (первую) окружность четырёхугольнике $ABCD$ через четыре пары вершин $A$ и $B$, $B$ и $C$, $C$ и $D$, $D$ и $A$ провели по одной окружности (еще четыре окружности) так, что точки их попарного пересечения $A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}$ лежат внутри первой окружности. Тогда $A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}$ лежат на одной (шестой) окружности.

Рисунок справа ниже будет соответствовать последней формулировке теоремы, если обозначить $Z=A_{1},Y=B_{1},X=C_{1},W=D_{1}$.

Замечание

Сформулированную выше теорему также называют теоремой Микеля о шести окружностях без её привязки к конкретному четырёхугольнику (см. рис. ниже).) Пусть на окружности заданы 4 точки, «А», «B», «C» и «D», и 4 окружности попарно пересекаются в этих точках, а также ещё в 4 других точках W, X, Y и Z. Тогда последние 4 точки лежат на общей окружности. Эта теорема известна, как «теорема о шести окружностях»' (см. рис).

Японская теорема (Japanese theorem)

Следствия

• $ABCD$ — вписанный четырёхугольник. $A_{1}$ — основание перпендикуляра, опущенного из вершины $A$ на диагональ $BD$; аналогично определяются точки $B_{1},C_{1},D_{1}$. Тогда точки $A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}$ лежат на одной окружности. Доказательство вытекает из леммы о шестой окружности.
• $ABCD$ — вписанный четырёхугольник. $A_{1}$ — центр вписанной окружности треугольника BCD; аналогично определяются точки $B_{1},C_{1},D_{1}$. Тогда $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ — прямоугольник. Доказательство вытекает из леммы о шестой окружности. Это следствие иногда называют называют японской теоремой (Japanese theorem)(см. рис.).
• Пусть окружность, вписанная в произвольный треугольник $ABC$, касается стороны $AC$ в точке $X$, а вневписанная окружность касается стороны $AC$ в точке $Y$. Тогда точки $A_{1},Y,C_{1},X$ лежат на одной окружности. Доказательство вытекает из леммы о шестой окружности.
• В треугольнике $ABC$ $A_{1},C_{1}$ — основания перпендикуляров, опущенных на биссектрису угла $B$ из вершин $A$ и $C$ соответственно; $BB_{1}$ — высота, $D_{1}$ — середина стороны $AC$. Тогда точки $A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}$ и $D_{1}$ лежат на одной окружности. Более того, центр окружности, проходящей через точки $A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}$, лежит на окружности девяти точек треугольника ABC. Доказательство вытекает из леммы о шестой окружности.

История

Теорема Микеля для пятиугольника

Эту теорему иногда называют теоремой о четырёх окружностях и приписывают Якобу Штейнеру, хотя единственное известное опубликованное доказательство было дано Микелем.

Уэллс ссылается на эту теорему как на «теорему Микеля»

Возможные вариации и обобщения

Интересно то, что дальнейшее обобщение этой теоремы до Леммы о седьмой окружности невозможно. На это указывает следующий контрпример в виде рисунка справа, взятого из раздела Точка Микеля (см. параграф «Теорема Микеля для пятиугольника (для пятиконечной звезды)»). На это указывает следующее очевидное утверждение:

«Если 5 окружностей (на рисунке они чёрного цвета) имеют 5 точек их попарного пересечения M, N, P, R, Q , лежащих на одной (синей) окружности (всего 6 окружностей), то из этого, в общем случае, вовсе не следует то, что 5 других (не упомянутых выше) точек их попарного пересечения A, B, C, D, E также будут лежать на одной окружности (на 7-ой окружности)).» На рисунке это достаточно очевидно, так как пятиугольник ABCDE явно не вписан в окружность (7-ю по счету).

См. также

• Теорема о шести окружностях
• Теорема Микеля о шести окружностях
• Теорема о пяти кругах
• Теорема о вписанных окружностях

Литература

• Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited, New Mathematical Library, vol. 19, Washington, D.C.: Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-619-2, Zbl 0166.16402
• Forder, H.G. (1960), Geometry, London: Hutchinson
• Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), Geometry by its History, Springer, ISBN 978-3-642-29162-3
• Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry / A Comprehensive Course, Dover, ISBN 0-486-65812-0
• Smart, James R. (1997), Modern Geometries (5th ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
• Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6, Zbl 0856.00005