Линейная динамическая система

Линейные динамические системы — это динамические системы, эволюция которых во времени описывается линейным дифференциальным уравнением (для систем с дискретным временем - линейным разностным уравнением). В то время как динамические системы в целом не имеют замкнутой формы решения, линейные динамические системы могут быть решены точно, и у них есть большой набор математических свойств. Линейные системы также могут быть использованы для понимания поведения общих динамических систем, путём расчета точек равновесия системы и приближения её в виде линейной системы вокруг каждой такой точки.

ВведениеПравить

В линейной динамической системе, изменение вектора состояния (  -мерный вектор обозначается  ) эквивалентно постоянной матрице (обозначается  ) умноженной на  . Эти изменения могут иметь две формы:

или как поток, в котором   изменяется непрерывно со временем:

 

или как отображение, в котором   изменяется дискретно:

 

Эти уравнения являются линейными в следующем смысле: если   и   - два действительных решения, то и любая линейная комбинация имеет два решения, например,   где   и   два любых скаляра. Матрица   не обязательно должна быть симметричной.

Линейные динамические системы могут быть решены точно, в отличие от большинства нелинейных. Иногда, нелинейная система может быть решена точно изменением переменных в линейной системе. Кроме того, решения почти любой нелинейной системы могут быть приближенно найдены эквивалентно линейной системы вблизи её неподвижных точек. Следовательно, понимание линейных систем и их решение является важнейшим шагом к пониманию более сложных нелинейных систем.

Решения линейных динамических системПравить

Если первоначальный вектор   выровнен с собственным вектором   в матрице  , динамика проста

 

где   является соответствующим собственному значению; решение этого уравнения

 

как может быть подтверждено путём замены.

Если   диагонализируема, тогда любой вектор в  -мерном пространстве может быть представлен комбинацией правых и левых собственных векторов (обозначается  ) из матрицы  .

 

Таким образом, общее решение для   линейная комбинация отдельных решений для правых собственных векторов

 

Аналогичные соображения применимы и к дискретным отображениям.

Классификация в двух измеренияхПравить

 
Классификация 2D неподвижной точки согласно следу и определителю матрицы Якоби

Корни характеристического многочлена матрицы (A - λI) являются собственными значениями A. Признак и связь этих корней,  , друг с другом могут быть использованы для определения стабильности динамической системы

 

Для двухмерных систем, характеристический многочлен имеет вид   где   след матрицы   является детерминантом, определяющим A. Таким образом, два корня имеют вид:

 
 

Отметим также, что   и  . Таким образом, если   то собственные значения противоположного знака, и неподвижная точка является седловой. Если   то собственные значения одного знака. Поэтому, если   оба положительны и точка неустойчива, и если   то оба отрицательны и точка устойчива. Дискриминант покажет нам, если точка находится в узле или спирали (т.e. если собственные значения действительные или комплексные).


См. такжеПравить

ПримечанияПравить