Линейное дифференциальное уравнение

В математике линейное дифференциальное уравнение имеет вид

$Ly=f$

где дифференциальный оператор L линеен, y — известная функция $y=y(t)$, а правая часть $f=f(t)$ — функция от той же переменной, что и y.

Линейный оператор L можно рассматривать в форме

$L_{n}(y)\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+A_{1}(t){\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\cdots +A_{n-1}(t){\frac {dy}{dt}}+A_{n}(t)y$

При этом, если $f(t)\equiv 0$, то такое уравнение называется линейным однородным уравнением, иначе — линейным неоднородным уравнением.

Уравнения с переменными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение порядка n с переменными коэффициентами имеет общий вид

$p_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +p_{0}(x)y(x)=r(x)$

Пример

Уравнение Коши — Эйлера, используемое в инженерии, является простым примером линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами

$x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0$

Уравнение первого порядка

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами имеет общий вид:

$y'(x)+f(x)y(x)=g(x)$

Уравнения в такой форме могут быть решены путём умножения на интегрирующий множитель:

$e^{\int f(x)\,dx}$

Уравнение запишется как:

$y'(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x)\,dx},$

В силу того, что левая часть образует дифференциал произведения

$\left(y(x)e^{\int f(x)\,dx}\right)'=g(x)e^{\int f(x)\,dx}$

Пример

Решение уравнения

$y'\left(x\right)+3y\left(x\right)=2$

с начальными условиями

$y\left(0\right)=2$

Имеем решение в общем виде

$y=e^{-3x}\left(\int 2e^{3x}\,dx+\kappa \right)$

Решение неопределённого интеграла

$y=e^{-3x}\left(2/3e^{3x}+\kappa \right)$

Можно упростить до

$y=2/3+\kappa e^{-3x}$

где $\kappa =$ 4/3, после подстановки начальных условий в решение.

Что, после интегрирования обеих частей, приводит к

$y(x)e^{\int f(x)\,dx}=\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+C~,$

$y(x)={\dfrac {\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+C}{e^{\int f(x)\,dx}}}~.$

Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

$y'(x)+f(x)y(x)=g(x),$

(в частности, с постоянными коэффициентами) имеет вид

$y(x)=e^{-{\int {f(x)\,dx}}}\left(\int g(x)e^{\int {f(x)\,dx}}\,dx+C\right)$

где $C$ является константой интегрирования.

Пример

Возьмём дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами:

${\frac {dy}{dx}}+by=1.$

Это уравнение имеет особое значение для систем первого порядка, таким как RC-схемы и масс-демпфер^{[неизвестный термин]} системы.

В этом случае p(x) = b, r(x) = 1.

Следовательно, решение будет:

$y(x)=e^{-bx}\left(e^{bx}/b+C\right)=1/b+Ce^{-bx}.$

См. также

• Метод функции Грина

Уравнения с постоянными коэффициентами

Основная статья: Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами