Линейное дифференциальное уравнение

В математике линейное дифференциальное уравнение имеет вид

где дифференциальный оператор L линеен, y — известная функция , а правая часть  — функция от той же переменной, что и y.

Линейный оператор L можно рассматривать в форме

При этом, если , то такое уравнение называется линейным однородным уравнением, иначе — линейным неоднородным уравнением.

Уравнения с переменными коэффициентамиПравить

Линейное дифференциальное уравнение порядка n с переменными коэффициентами имеет общий вид

 

ПримерПравить

Уравнение Коши — Эйлера, используемое в инженерии, является простым примером линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами

 

Уравнение первого порядкаПравить

Пример

Решение уравнения

 

с начальными условиями

 

Имеем решение в общем виде

 

Решение неопределённого интеграла

 

Можно упростить до

 

где   4/3, после подстановки начальных условий в решение.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами имеет общий вид

 

Уравнения в такой форме могут быть решены путём умножения на интегрирующий множитель

 

Уравнение запишется

 

В силу того, что левая часть образует дифференциал произведения

 

Что, после интегрирования обеих частей, приводит к

 
 

Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

 

(в частности, с постоянными коэффициентами) имеет вид

 

где   является константой интегрирования.

ПримерПравить

Возьмём дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами:

 

Это уравнение имеет особое значение для систем первого порядка, таким как RC-схемы и масс-демпфер[неизвестный термин] системы.

В этом случае p(x) = b, r(x) = 1.

Следовательно, решение будет:

 

См. такжеПравить

Уравнения с постоянными коэффициентамиПравить