В математике линейное дифференциальное уравнение имеет вид

где дифференциальный оператор L линеен, y — известная функция
, а правая часть
— функция от той же переменной, что и y.
Линейный оператор L можно рассматривать в форме

При этом, если
, то такое уравнение называется линейным однородным уравнением, иначе — линейным неоднородным уравнением.
Уравнения с переменными коэффициентами
править
Линейное дифференциальное уравнение порядка n с переменными коэффициентами имеет общий вид
-
Уравнение Коши — Эйлера, используемое в инженерии, является простым примером линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами
-
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами имеет общий вид:
-
Уравнения в такой форме могут быть решены путём умножения на интегрирующий множитель:
-
Уравнение запишется как:
В силу того, что левая часть образует дифференциал произведения
-
Пример
Решение уравнения
-
с начальными условиями
-
Имеем решение в общем виде
-
Решение неопределённого интеграла
-
Можно упростить до
-
где 4/3, после подстановки начальных условий в решение.
Что, после интегрирования обеих частей, приводит к
-
-
Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения первого порядка
-
(в частности, с постоянными коэффициентами) имеет вид
-
где является константой интегрирования.
Возьмём дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами:
-
Это уравнение имеет особое значение для систем первого порядка, таким как RC-схемы и масс-демпфер[неизвестный термин] системы.
В этом случае p(x) = b, r(x) = 1.
Следовательно, решение будет:
-
Уравнения с постоянными коэффициентами
править