Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

где

  •  — искомая функция,
  •  — её производная,
  •  — фиксированные числа,
  •  — заданная функция (когда , имеем линейное однородное уравнение, иначе — линейное неоднородное уравнение).

Однородное уравнениеПравить

ОпределениеПравить

Корень кратности   многочлена   это число  , такое что этот многочлен делится без остатка на  , но не на  .

Уравнение порядка nПравить

Однородное уравнение:

 

интегрируется следующим образом:

Пусть   — все различные корни характеристического многочлена, являющегося левой частью характеристического уравнения

 

кратностей  , соответственно,  .

Тогда функции

 

являются линейно независимыми (вообще говоря, комплексными) решениями однородного уравнения, они образуют фундаментальную систему решений.

Общее решение уравнения является линейной комбинацией с произвольными постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами фундаментальной системы решений.

Воспользовавшись формулой Эйлера для пар комплексно сопряженных корней   можно заменить соответствующие пары комплексных функций в фундаментальной системе решений парами вещественных функций вида

 

и построить общее решение уравнения в виде линейной комбинации с произвольными вещественными постоянными коэффициентами.

Уравнение второго порядкаПравить

Однородное уравнение второго порядка:

 

интегрируется следующим образом:

Пусть   — корни характеристического уравнения

 ,

являющегося квадратным уравнением.

Вид общего решения однородного уравнения зависит от значения дискриминанта  :

  • при   уравнение имеет два различных вещественных корня
 

Общее решение имеет вид:

 
  • при   — два совпадающих вещественных корня
 

Общее решение имеет вид:

 
 

Общее решение имеет вид:

 

Неоднородное уравнениеПравить

Неоднородное уравнение интегрируется методом вариации произвольных постоянных (Метод Лагранжа).

Вид общего решения неоднородного уравненияПравить

Если дано частное решение неоднородного уравнения  , и   — фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение уравнения задается формулой

 

где   — произвольные постоянные.

Принцип суперпозицииПравить

Как в общем случае линейных уравнений, имеет место принцип суперпозиции, используемый в разных формулировках принципа суперпозиции в физике.

В случае, когда функция в правой части состоит из суммы двух функций

 ,

частное решение неоднородного уравнения тоже состоит из суммы двух функций

 ,

где   являются решениями неоднородного уравнения с правыми частями  , соответственно.

Частный случай: квазимногочленПравить

В случае, когда   — квазимногочлен, то есть

 

где   — многочлены, частное решение уравнения ищется в виде

 

где

  •   многочлены,  , коэффициенты которых находятся подстановкой   в уравнение и вычисление методом неопределенных коэффициентов.
  •   является кратностью комплексного числа  , как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

В частности, когда

 

где   — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде

 

Здесь   — многочлен,  , с неопределенными коэффициентами, которые находятся подстановкой   в уравнение.   является кратностью  , как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

Когда же

 

где   — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде

 

Здесь   — многочлен,  , а   является кратностью нуля, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

Уравнение Коши — ЭйлераПравить

Уравнение Коши — Эйлера является частным случаем линейного дифференциального уравнения вида:

 ,

приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой вида  .

ПрименениеПравить

Дифференциальные уравнения являются наиболее часто используемой и классической формой математического описания процессов. Разные формы математических описаний являются инструментальным средством аналитического анализа и синтеза динамических систем и систем автоматического управления. Дифференциальные уравнения, параметры которых зависят от переменных, называются нелинейными и не имеют общих решений. В настоящее время в теории автоматического управления широко используется математический аппарат интегральных преобразований Лапласа и Фурье. Из математики известно, что в частотную область компактно преобразуется д.у. с постоянными коэффициентами и при нулевых начальных условиях. И в теории управления такое уравнение является линейным.[1]

Если динамическая система представлена нелинейными дифференциальными уравнениями математической физики, то для применения классических методов анализа этих систем требуется их линеаризация.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. А. В. Андрюшин, В. Р. Сабанин, Н. И. Смирнов. Управление и инноватика в теплоэнергетике. — М: МЭИ, 2011. — С. 41. — 392 с. — ISBN 978-5-38300539-2.