Открыть главное меню

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

где

  •  — искомая функция,
  •  — её производная,
  •  — фиксированные числа,
  •  — заданная функция (когда , имеем линейное однородное уравнение, иначе — линейное неоднородное уравнение).

Содержание

Однородное уравнениеПравить

ОпределениеПравить

Корень кратности   многочлена   это число  , такое что этот многочлен делится без остатка на  , но не на  .

Уравнение порядка nПравить

Однородное уравнение:

 

интегрируется следующим образом:

Пусть   — все различные корни характеристического многочлена, являющегося левой частью характеристического уравнения

 

кратностей  , соответственно,  .

Тогда функции

 

являются линейно независимыми (вообще говоря, комплексными) решениями однородного уравнения, они образуют фундаментальную систему решений.

Общее решение уравнения является линейной комбинацией с произвольными постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами фундаментальной системы решений.

Воспользовавшись формулой Эйлера для пар комплексно сопряженных корней   можно заменить соответствующие пары комплексных функций в фундаментальной системе решений парами вещественных функций вида

 

и построить общее решение уравнения в виде линейной комбинации с произвольными вещественными постоянными коэффициентами.

Уравнение второго порядкаПравить

Однородное уравнение второго порядка:

 

интегрируется следующим образом:

Пусть   — корни характеристического уравнения

 ,

являющегося квадратным уравнением.

Вид общего решения однородного уравнения зависит от значения дискриминанта  :

  • при   уравнение имеет два различных вещественных корня
 

Общее решение имеет вид:

 
  • при   — два совпадающих вещественных корня
 

Общее решение имеет вид:

 
 

Общее решение имеет вид:

 

Неоднородное уравнениеПравить

Неоднородное уравнение интегрируется методом вариации произвольных постоянных (Метод Лагранжа).

Вид общего решения неоднородного уравненияПравить

Если дано частное решение неоднородного уравнения  , и   — фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение уравнения задается формулой

 

где   — произвольные постоянные.

Принцип суперпозицииПравить

Как в общем случае линейных уравнений, имеет место принцип суперпозиции, используемый в разных формулировках принципа суперпозиции в физике.

В случае, когда функция в правой части состоит из суммы двух функций

 ,

частное решение неоднородного уравнения тоже состоит из суммы двух функций

 ,

где   являются решениями неоднородного уравнения с правыми частями  , соответственно.

Частный случай: квазимногочленПравить

В случае, когда   — квазимногочлен, то есть

 

где   — многочлены, частное решение уравнения ищется в виде

 

где

  •   многочлены,  , коэффициенты которых находятся подстановкой   в уравнение и вычисление методом неопределенных коэффициентов.
  •   является кратностью комплексного числа  , как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

В частности, когда

 

где   — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде

 

Здесь   — многочлен,  , с неопределенными коэффициентами, которые находятся подстановкой   в уравнение.   является кратностью  , как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

Когда же

 

где   — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде

 

Здесь   — многочлен,  , а   является кратностью нуля, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

Уравнение Коши — ЭйлераПравить

Уравнение Коши — Эйлера является частным случаем линейного дифференциального уравнения вида:

 ,

приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой вида  .

ПрименениеПравить

Дифференциальные уравнения являются наиболее часто используемой и классической формой математического описания процессов. Разные формы математических описаний являются инструментальным средством аналитического анализа и синтеза динамических систем и систем автоматического управления. Дифференциальные уравнения, параметры которых, зависят от переменных называются нелинейными и не имеют общих решений. В настоящие время в теории автоматического управления широко используется математический аппарат интегральных преобразований Лапласа и Фурье. Из математики известно, что в частотную область компактно преобразуется д.у. с постоянными коэффициентами и при нулевых начальных условиях. И в теории управления такое уравнение является линейным. [1]

Если динамическая система представлена нелинейными дифференциальными уравнениями математической физики, то для применения классических методов анализа этих систем требуется их линеаризация.

См. такжеПравить

  1. А.В. Андрюшин, В.Р.Сабанин, Н.И.Смирнов. Управление и инноватика в теплоэнергетике. — М: МЭИ, 2011. — С. 41. — 392 с. — ISBN 978-5-38300539-2.