Открыть главное меню

Лине́йно свя́зное простра́нство — это топологическое пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой.

Содержание

ОпределенияПравить

Связанные определенияПравить

  • Каждое линейно связное подмножество пространства   содержится в некотором максимальном линейно связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются компонентами линейной связности пространства  .
    • Пространство, в котором каждая компонента линейной связности состоит из одной точки, называется вполне линейно не связным.
  • Если существует база топологии пространства  , состоящая из линейно связных открытых множеств, тогда топология пространства   и само пространство   (в этой топологии) называются локально линейно связными.

ПримерыПравить

 
Пример связного, но не линейно связного множества.
  • Прямая, окружность, выпуклое подмножество евклидова пространства — примеры линейно связных пространств.
  • Замыкание графика функции   при   — пример связного пространства, которое не является линейно связным. Это пространство имеет две компоненты линейной связности: график функции при x > 0, и отрезок   на оси ординат.
  • Псевдодуга — пример связного, но вполне линейно не связного пространства.

СвойстваПравить

Линейная связность на числовой прямойПравить

Будем считать, что  , а   — стандартная топология числовой прямой. Тогда

  • Подмножество   линейно связно тогда и только тогда, когда
     
то есть любые две точки входят в него вместе с соединяющим их отрезком.
  • Любое линейно связное подмножество числовой прямой является конечным или бесконечным открытым, полуоткрытым или замкнутым интервалом:
     
  • Подмножество числовой прямой линейно связно тогда и только тогда, когда оно связно.

ОбобщениеПравить

Многомерным обобщением линейной связности является  -связность (связность в размерности  ). Пространство   называется связным в размерности  , если любое отображение  -мерной сферы   в  , где  , гомотопно постоянному отображению.

В частности, линейно связное пространство это 0-связное пространство, то есть любое отображение двоеточия (то есть нульмерной сферы) гомотопно постоянному отображению.

ЛитератураПравить

  • Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989