Линейно упорядоченное множество

Лине́йно упоря́доченное мно́жество или цепьчастично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов и имеет место или .

Важнейший частный случай линейно упорядоченных множеств ― вполне упорядоченные множества.

Связанные определенияПравить

Сечением линейно упорядоченного множества   называется разбиение его на два подмножества   и   так, что  ,   и для любых   и  ,   Классы   и   называются соответственно нижним и верхним классами сечения.

Различаются следующие типы сечений:

  • скачок ― в нижнем классе имеется наибольший элемент, а в верхнем ― наименьший;
  • дедекиндово сечение ― в верхнем классе нет наименьшего элемента или в нижнем классе нет наибольшего, но не одновременно;
  • щель ― в нижнем классе нет наибольшего элемента, а в верхнем ― наименьшего.

Линейно упорядоченное множество называется непрерывным, если все его сечения дедекиндовы.

Подмножество   линейно упорядоченного множества   называется плотным, если каждый неодноэлементный интервал множества   содержит элементы, принадлежащие  .

СвойстваПравить

  • Подмножество линейно упорядоченного множества само является линейно упорядоченным.
  • Всякий максимальный (минимальный) элемент линейно упорядоченного множества оказывается наибольшим (наименьшим).[1]
  • Линейно упорядоченное множество вещественных чисел может быть охарактеризовано как непрерывное линейно упорядоченное множество в котором нет ни наибольшего, ни наименьшего элементов, но содержится счётное плотное подмножество.
  • Всякое счётное линейно упорядоченное множество изоморфно некоторому подмножеству отрезка   с порядком, унаследованным от  .
  • Решётка   изоморфна подмножеству линейно упорядоченного множества целых чисел тогда и только тогда, когда каждая её подрешетка является ретрактом.

КлассификацияПравить

Перечислим некоторые практически важные типы линейно упорядоченных множеств, содержащие дополнительные.алгебраические структуры.

ПримечанияПравить