Открыть главное меню

Линейный непрерывный оператор

Линейный непрерывный оператор , действующий из линейного топологического пространства X в линейное топологическое пространство Y — это линейное отображение из X в Y, обладающее свойством непрерывности.

Термин «линейный непрерывный оператор» обычно употребляют в случае, когда Y многомерно. Если Y одномерно, т.е. совпадает с самими полем ( или ), то принято использовать термин линейный непрерывный функционал[1]. Множество всех линейных непрерывных операторов из X в Y обозначается .

В теории нормированных пространств линейные непрерывные операторы более известны как ограниченные линейные по нижеизложенной причине. Теория линейных непрерывных операторов играет важную роль в функциональном анализе, математической физике и вычислительной математике.

Содержание

СвойстваПравить

  • Если X конечномерно, то любой линейный оператор непрерывен.
  • Непрерывность линейного оператора в нуле равносильна его непрерывности в любой другой точке (и, следовательно, во всём X).
  • Для нормированных пространств условия непрерывности и ограниченности (т.е. конечности операторной нормы) равносильны.[2]. В общем случае из непрерывности линейного оператора следует ограниченность, но обратное верно не всегда.
  • Если X и Y — банаховы пространства, и образ оператора   совпадает с пространством Y, то существует обратный оператор   (т.н. теорема об обратном операторе).
  • Множество всех линейных непрерывных операторов из X в Y само является линейный топологическим пространством. Если X и Y нормированы, то   также нормировано операторной нормой. Если Y — банахово, то и   является таковым, независимо от полноты X.

Свойства линейного непрерывного оператора сильно зависят от свойств пространств X и Y. Например, если X — конечномерное пространство, то оператор   будет вполне непрерывным оператором, область его значений   будет конечномерным линейным подпространством, и каждый такой оператор можно представить в виде матрицы[3].

Непрерывность и сходящиеся последовательностиПравить

Линейный оператор  , действующий из линейного топологического пространства X в линейное топологическое пространство Y, непрерывен тогда и только тогда, когда для любой последовательности   точек X, из   следует  .

Пусть ряд   сходится и   — линейный непрерывный оператор. Тогда справедливо равенство

 .

Это означает, что к сходящимся рядам в линейных топологических пространствах линейный оператор можно применять почленно.

Если X, Y — банаховы пространства, то непрерывный оператор переводит каждую слабо сходящуюся последовательность в слабо сходящуюся:

если   слабо, то   слабо.


Связанные определенияПравить

  • Линейный оператор называется ограниченным снизу, если  .

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

ПримечанияПравить

  1. Линейные непрерывные функционалы обладают специфическими свойствами, не имеющими места в общем случае, и порождают особенные математические структуры, поэтому теорию линейных непрерывных функционалов рассматривают отдельно от общей теории.
  2. Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М.: Наука, 1968. — 664 с.
  3. Также, в конечномерном пространстве   с базисом  , линейный непрерывный оператор   можно представить в виде  , где   — функции из сопряжённого пространства.