Открыть главное меню

Лента Мёбиуса

(перенаправлено с «Лист Мёбиуса»)
Лента Мёбиуса
Римская мозаика III века нашей эры с изображением кольца, свернутого как лента Мёбиуса, мюнхенская Глиптотека

Ле́нта Мёбиуса (лист Мёбиуса, петля́ Мёбиуса) — топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное евклидово пространство .

Считается, что лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году, хотя похожая структура изображена на римской мозаике III века нашей эры. Модель ленты Мёбиуса можно легко сделать: надо взять достаточно длинную бумажную полоску и склеить противоположные концы полоски в кольцо, предварительно перевернув один из них. В трёхмерном евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.

Эйлерова характеристика листа Мёбиуса равна нулю.

УравненияПравить

 
Параметрическое описание листа Мёбиуса
 
Чтобы превратить квадрат в лист Мёбиуса, соедините края, помеченные буквой A, так, чтобы направления стрелок совпали

Одним из способов представления листа Мёбиуса как подмножества   является параметризация:

 
 
 

где   и  . Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чья центральная окружность имеет радиус 1, лежит в плоскости   с центром в  . Параметр   пробегает вдоль ленты, а   задает расстояние от края.

В цилиндрических координатах   неограниченная версия листа Мёбиуса может быть представлена уравнением

 

где логарифм имеет произвольное основание.

СвойстваПравить

  • Граница листа Мёбиуса состоит из одной замкнутой кривой.
  • Топологически лист Мёбиуса может быть определен как факторпространство квадрата   по отношению эквивалентности   для  .
  • Лист Мёбиуса — это также пространство нетривиального расслоения над окружностью со слоем отрезок.
  • Ленту Мёбиуса возможно поместить в   с границей, являющейся идеальной окружностью. Один из способов — применить стереографическую проекцию к бутылке Клейна, вложенной в трёхмерную сферу. Идея состоит в следующем: пусть   будет единичным кругом в плоскости   в  . Соединив антиподные точки на   (то есть точки под углами   и  ) дугой круга, получим, что для   между   и   дуги лежат выше плоскости  , а для других   — ниже (причём в двух местах дуги лежат в плоскости  ).[источник не указан 1426 дней]
    • Тем не менее любой диск, который приклеивается к граничной окружности, неизбежно пересечёт ленту Мёбиуса.
  • Примером вложения листа Мебиуса в   является поверхность, заданная уравнением
 
 
Здесь параметр   изменяется от 0 до  . Границей этой поверхности является окружность  . При стереографической проекции получается вложение в   с границей, в точности являющейся окружностью.

Открытые вопросыПравить

  1. Каково минимальное   такое, что из прямоугольника с меньшей стороной 1 и большей стороной k можно свернуть несамопересекающуюся ленту Мёбиуса (бумагу мять не разрешается)? Доказанная оценка снизу —  , сверху —  [1].
  2. Существует ли формула, описывающая лист Мёбиуса, получающийся путём складывания плоского листа бумаги? Вышеуказанные формулы описывают поверхность, которую нельзя сложить из листа бумаги, так как она имеет отрицательную кривизну; спрашивается, можно ли аналогичным образом описать поверхность нулевой кривизны?[2]
    • Сложнее найти форму, которая при этом минимизирует упругую энергию изгиба. Решение этой задачи, впервые поставленной Садовским (M. Sadowsky) в 1930 году, было опубликовано в 2007 году[3]. Однако решение не описывается алгебраической формулой, и маловероятно, что такая формула вообще существует. Чтобы найти пространственную равновесную форму бумажной ленты Мёбиуса, необходимо решить краевую задачу для системы дифференциально-алгебраических уравнений[en].

Если ленту разрезатьПравить

 
Разрезание ленты Мёбиуса по линии, которая отстоит от краёв на треть ширины
  • Если разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (закрученная на полный оборот) лента. Это свойство ленты Мёбиуса используется в старинном фокусе под названием «афганские ленты»[4] (англ. The Afghan Bands) с 1904 года[5], его также описывают Норберт Винер в книге I Am a Mathematician (1956)[6] и Мартин Гарднер в книге Mathematics, Magic and Mystery (1956), последний также утверждает, что самая ранняя ссылка на использование ленты Мёбиуса для фокусов относится к 1882 году[7]. Если получившуюся ленту разрезать вдоль посередине, получаются две такие ленты, намотанные друг на друга.
  • Если разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более короткая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами[8].
  • Другие комбинации лент могут быть получены из лент с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрез ленты с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

Искусство и технологияПравить

 
Международный символ переработки представляет собой лист Мёбиуса
 
«Лента Мёбиуса» над входом в институт ЦЭМИ РАН (1976, архитектор Леонид Павлов, художники Э. А. Жаренова и В. К. Васильцов)

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — «Лист Мёбиуса II»[9], показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса является эмблемой серии научно-популярных книг «Библиотечка „Квант“». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена мрака». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщённым листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (например, «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мёбиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мёбиуса».

В 1987 году советский джазовый пианист Леонид Чижик записал альбом «Лента Мёбиуса», в который вошла и одноимённая композиция.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде ленты Мёбиуса, будет работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид ленты Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Также над входом в институт ЦЭМИ РАН находится мозаичный горельеф «Лента Мёбиуса» работы архитектора Леонида Павлова[10] в соавторстве с художниками Э. А. Жареновой и В. К. Васильцовым (1976)[11].

Иногда считается, что лента Мёбиуса является прообразом символа бесконечности  , однако последний появился на два века раньше[12].

Вариации и обобщенияПравить

  • Близкой односторонней поверхностью является бутылка Клейна. Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трёхмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.
  • Другое похожее многообразие — проективная плоскость. Если проколоть отверстие в проективной плоскости, тогда то, что останется, будет листом Мёбиуса. С другой стороны, если приклеить диск к ленте Мёбиуса, совмещая их границы, то результатом будет проективная плоскость.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Фукс Д. Лента Мёбиуса. Вариации на старую тему // «Квант», № 1, 1979.
  2. Randrup T., Rogen P. Sides of the Möbius strip (англ.) // Archiv der Mathematik : journal. — 1996. — Vol. 66. — P. 511—521.
  3. Starostin. E. L., van der Heijden G. H. M. The shape of a Möbius strip (англ.) // Nature Materials : journal. — 2007. — DOI:10.1038/nmat1929.
  4. Гарднер М. Профессор, у которого не было ни одной стороны. Примечания автора (рус.) // Наука и жизнь. — 1977. — № 5. — С. 127.
  5. Professor Hoffmann. Later Magic. — New York, London: E. P. Dutton & Company, George Routledge & Sons, 1904. — P. 471—473.
  6. Norbert Wiener. I Am a Mathematician. — Garden City, New York: Doubleday & Company, 1956. — P. 26—27. В русском переводе: Норберт Винер. Я — математик / Пер. с англ. Ю. С. Родман. — 2-е изд. — М.: Наука, 1967. — С. 19—20.
  7. Martin Gardner. Mathematics, Magic and Mystery. — New York: Dover Publications, 1956. — P. 70—73.
  8. Кордемский Б. А. Топологические опыты своими руками // «Квант», № 3, 1974
  9. M.C. Escher — Möbius Strip II
  10. Мастер вычисления
  11. Архитектор Мария Серова — о «доме с ухом» Леонида Павлова — The Village — The Village
  12. Лента Мёбиуса // Журнал «Weekend» № 10 (106) от 20.03.2009

ЛитератураПравить

  • Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии.— М.: Наука, 1989.
  • Гарднер М. Математические чудеса и тайны.— М.: Наука, 1978.

СсылкиПравить