Логарифмический потенциал

Логарифми́ческим потенциа́лом называют функцию, определённую в ℝ2 как свертка обобщённой функции ρ с функцией -ln|z|:

Логарифмический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона ΔV = −2πρ. По аналогии с ньютоновым потенциалом можно рассматривать три частных случая логарифмического потенциала.

Физический смыслПравить

Физический смысл логарифмических потенциалов заключается в том, что они соответствуют потенциалу, создаваемому зарядами (или массами) в двумерной электростатике (или двумерной ньютоновской гравитации), распределенными с (двумерной) плотностью ρ. С точки зрения обычной трехмерной электростатики, речь идет об электростатическом потенциале, создаваемом распределением зарядов, обладающим трансляционной симметрией по одной из пространственных осей (по оси, ортогональной к плоскости, декартовы координаты на которой есть компоненты вектора z - или его действительная и мнимая часть, если считать z комплексным числом), иными словами, распределением зарядов, не зависящим от третьей координаты, постоянным по ней (потенциал заряженной нити).

Потенциал площадиПравить

 

Если  , то сам потенциал   гармоничен в   и

 
  • Здесь, как это часто делается, подразумевается представление   как комплексной плоскости; впрочем, в рамках определений это несущественно, и в этом смысле здесь можно всюду заменить комплексные переменные   просто на двумерные векторы, а модуль комплексного числа - на евклидову норму в  , а если   также комплексно, можно рассматривать отдельно его действительную и мнимую части.

Логарифмический потенциал простого слояПравить

 

Если  , то сам потенциал   гармоничен в   и

 

Если Sкривая Ляпунова, то потенциал имеет производные, причем на самой кривой наблюдается их разрыв:

 
 

Логарифмический потенциал двойного слояПравить

 

где φ — угол между нормалью в точке ζ и радиус-вектором, проведённым в эту точку из точки z.

Если  , то сам потенциал   гармоничен в   и

 

Если Sкривая Ляпунова, то:

 

и

 
 

Если, к тому же, плотность — постоянная величина, потенциал равен

 

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

СсылкиПравить