Открыть главное меню

Локальное кольцо

Локальные кольца — кольца, которые относительно просты и позволяют описывать «локальное поведение» функций на алгебраическом многообразии или обычном многообразии. Раздел коммутативной алгебры, изучающий локальные кольца и модули над ними, называется локальной алгеброй.

ОпределениеПравить

Кольцо R локально, если выполняется одно из следующих эквивалентных свойств:

В этом случае единственный максимальный левый идеал совпадает с максимальным правым идеалом и состоит из всех необратимых элементов кольца. Обратно, если все необратимые элементы кольца образуют идеал, то этот идеал — максимальный, и других максимальных идеалов в кольце нет.

ПримерыПравить

Ростки функцийПравить

Основная статья: Росток (математика)

Данный пример позволяет понять происхождение термина «локальный». Рассмотрим кольцо непрерывных действительнозначных функций, определённых в некоторой окрестности нуля. Введём на множестве таких функций отношение эквивалентности: две функции эквивалентны тогда и только тогда, когда их ограничения на некоторую окрестность нуля совпадают. Классы эквивалентности по этому отношению называются «ростками действительнозначных непрерывных функций в нуле», на ростках можно естественным образом ввести операции сложения и умножения, легко проверить, что ростки образуют кольцо.

Чтобы проверить, что это кольцо локально, опишем все его необратимые элементы. Очевидно, что росток функции f, такой что f(0) = 0, необратим. Обратно, если f(0) ≠ 0, то из непрерывности следует, что f(x) ≠ 0 в некоторой окрестности нуля. Возьмем функцию g(x) = 1/f(x), определенную в этой окрестности, её росток является обратным к ростку функции f, и потому росток функции f обратим. Значит, необратимыми являются только ростки функций таких, что f(0) = 0. Таким образом, сумма двух необратимых ростков необратима, следовательно, кольцо ростков локально.

В точности те же самые аргументы позволяют доказать, что росток непрерывных функций в точке произвольного топологического пространства, или гладких функций в точке гладкого многообразия, или рациональных функций в точке алгебраического многообразия являются локальными. Последний пример представляет большую важность в алгебраической геометрии. В частности, схемы, являющиеся обобщением алгебраических многообразий, определяются как локально окольцованные пространства с дополнительными свойствами.

Некоммутативные локальные кольцаПравить

Некоммутативные локальные кольца естественным образом появляются при изучении разложений модулей в прямую сумму. А именно, если кольцо эндоморфизмов модуля M локально, то M является неразложимым. Обратно, если M — неразложимый модуль конечной длины, то его кольцо эндоморфизмов локально.

Если k — поле ненулевой характеристики p и G — конечная p-группа, то групповое кольцо k[G] является локальным.

Локализация кольца по простому идеалуПравить

Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, и   — простой идеал в нём. Множество   — образует мультипликативную систему кольца R, соответствующую простому идеалу  .

Локализацией   кольца R по простому идеалу   называется кольцо частных   кольца R по мультипликативной системе  . Как и в общем случае кольца частных, определён канонический гомоморфизм   кольца R в   по формуле  .

При этом все обратимые элементы в   имеют вид  , где оба элемента  , а необратимые — имеют вид r/s,   и образуют идеал  . Поскольку этот идеал содержит все необратимые элементы кольца  , он — максимальный идеал, а   — локальное кольцо.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971
  • Lam, T.Y. A first course in noncommutative rings. — 2nd. — Springer-Verlag, 2001. — ISBN 0-387-95183-0.
  • Jacobson, Nathan. Basic algebra. — 2nd. — Dover, 2009. — Vol. 2. — ISBN 978-0-486-47187-7.