Малая теорема Фубини

Малая теорема Фубини — это теорема о почленном дифференцировании ряда монотонных функций, которая гласит:

Всюду сходящийся ряд монотонных (неубывающих) функций:

почти всюду допускает почленное дифференцирование:

ДоказательствоПравить

Без ограничения общности можно считать все функции   неотрицательными и равными нулю при  ; в противном случае можно заменить   на  . Сумма ряда неубывающих функций есть, конечно, неубывающая функция.

Рассмотрим множество   полной меры, на котором существуют все   и  . При   и любом   мы имеем:

 

Так как слагаемые, стоящие слева, неотрицательны, то при любом  

 

Переходя к пределу при  , получаем:

 

откуда, устремляя   к   и учитывая, что все   неотрицательны, находим:

 

Покажем, что в действительности почти при всех   здесь имеет места знак равенства. Найдём для заданного   частную сумму   ряда (1), для которой:

 

Так как разность

  — неубывающая функция, то и для всех  
 

и, следовательно, ряд из неубывающих функций

 

сходится (даже равномерно) на всём отрезке  .

Но тогда по доказанному и ряд производных сходится почти всюду. Общий член этого ряда   почти всюду стремится к нулю, и, значит, почти всюду  . Но если бы в неравенстве (2) стоял знак  , то никакая последовательность частных сумм не могла бы иметь пределом  . Поэтому в неравенстве (2) почти при каждом   должен иметь место знак равенства, что мы и утверждали.