Открыть главное меню

Ма́рковский проце́сс — случайный процесс, эволюция которого после любого заданного значения временно́го параметра не зависит от эволюции, предшествовавшей , при условии, что значение процесса в этот момент фиксировано («будущее» процесса не зависит от «прошлого» при известном «настоящем»; другая трактовка (Вентцель): «будущее» процесса зависит от «прошлого» лишь через «настоящее»).

Процесс Маркова — модель авторегрессии первого порядка AR(1): .

Марковская цепь — частный случай марковского процесса, когда пространство его состояний дискретно (т.е. не более чем счетно)[1].

Содержание

ИсторияПравить

Определяющее марковский процесс свойство принято называть марковским; впервые оно было сформулировано А. А. Марковым, который в работах 1907 г. положил начало изучению последовательностей зависимых испытаний и связанных с ними сумм случайных величин. Это направление исследований известно под названием теории цепей Маркова.

Однако уже в работе Л. Башелье можно усмотреть попытку трактовать броуновское движение как марковский процесс, попытку, получившую обоснование после исследований Винера в 1923.

Основы общей теории марковских процессов с непрерывным временем были заложены Колмогоровым.

Марковское свойствоПравить

Общий случайПравить

Пусть   — вероятностное пространство с фильтрацией   по некоторому (частично упорядоченному) множеству  ; и пусть   — измеримое пространство. Случайный процесс  , определённый на фильтрованном вероятностном пространстве, считается удовлетворяющим марковскому свойству, если для каждого   и  

 

Марковский процесс — это случайный процесс, удовлетворяющий марковскому свойству с естественной фильтрацией.

Для марковских цепей с дискретным временемПравить

В случае, если   является дискретным множеством и  , определение может быть переформулировано:

 .

Пример марковского процессаПравить

Рассмотрим простой пример марковского случайного процесса. По оси абсцисс случайным образом перемещается точка. В момент времени ноль точка находится в начале координат и остается там в течение одной секунды. Через секунду бросается монета — если выпал герб, то точка X перемещается на одну единицу длины вправо, если решка — влево. Через секунду снова бросается монета и производится такое же случайное перемещение, и так далее. Процесс изменения положения точки («блуждания») представляет собой случайный процесс с дискретным временем (t=0, 1, 2, …) и счетным множеством состояний. Такой случайный процесс называется марковским, так как следующее состояние точки зависит только от настоящего (текущего) состояния и не зависит от прошлых состояний (неважно, каким путём и за какое время точка попала в текущую координату).

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. А. В. Булинский, А. Н. Ширяев. Теория случайных процессов. Физматлит, 2005.

СсылкиПравить